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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/11/19,#,定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分,弦所对的两条弧,.,O,A,B,C,D,M,CDAB,如图,CD,是直径,AM=BM,AC=BC,AD =BD.,条件,CD,为直径,CDAB,CD,平分弧,ADB,CD,平分弦,AB,CD,平分弧,AB,结论,温故知新,第,1,页,/,共,18,页,定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分OABCDMCDA,1,垂径定理的逆命题是什么？,想一想,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的,两 条弧,.,条件,结论,1,结论,2,逆命题,1,：平分弦的直径垂直于弦。,逆命题,2,：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。,第,2,页,/,共,18,页,垂径定理的逆命题是什么？想一想垂直于弦的直径平分弦,并且平分,2,CDAB,探索规律,AB,是,O,的,一条弦,且,AM=BM.,你能发现图中有哪些等量关系,?,与同伴说说你的想法和理由,.,过点,M,作直径,CD.,O,上图是轴对称图形吗,?,如果是,其对称轴是什么,?,C,D,由 ,CD,是直径,AM=BM,可推得,AC=BC,AD=BD.,M,A,B,平分弦 的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,.,（,不是直径,）,第,3,页,/,共,18,页,CDAB,探索规律AB是O的一条弦,且AM=BM.你能,3,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论,.,O,A,B,C,D,M,CD,是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.,如图,对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中,:,第,4,页,/,共,18,页,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.OABCDM,4,规律,（,3,）,（,1,）,（,2,）,（,4,）,（,5,）,（,2,）,（,3,）,（,1,）,（,4,）,（,5,）,（,1,）,（,4,）,（,3,）,（,2,）,（,5,）,（,1,）,（,5,）,（,3,）,（,4,）,（,2,）,命题（,1,）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,命题（,2,）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,命题（,3,）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,CD,是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.,第,5,页,/,共,18,页,规律（3）（2）（2）（1）（1）（3）（1）（3）命题（1,5,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧,逆定理,定理,1,：,平分弦（,不是直径,）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧,定理,2,：,平分弧的直径垂直平分弧所对的弦,垂径定理,第,6,页,/,共,18,页,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧逆定理定理,6,.,O,A,E,B,D,C,已知：,O,的,直径,CD,交弦,AB,（不是直径）于点,E,，且,AE=BE.,求证：,CDAB,，,AD,BD,，,AC,BC.,定理,1,：,平分弦（,不是直径,）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧,.,证明：连结,OA,，,OB,，则,OA=OB,AOB,是等腰三角形,AE=BE,CDAB,（等腰三角形三线合一）,（垂径定理）,AD=BD,，,AC=BC,请同学们独立证明定理,2,第,7,页,/,共,18,页,.OAEBDC已知：O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E,7,（,1,）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧,.,（,2,）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心,.,（,3,）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分,.,（,4,）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,.,（,5,）圆内两条非直径的弦不能互相平分,.,辨一辨,第,8,页,/,共,18,页,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.（2）弦所对,8,（,6,）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（,7,）平分弦的直线，必定过圆心。,（,8,）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这,条直线垂直这条弦。,A,B,C,D,O,(1),A,B,C,D,O,(2),A,B,C,D,O,(3),第,9,页,/,共,18,页,（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（7）平分弦的直线，,9,（,9,）弦的垂直平分线一定是圆的直径。,（,10,）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。,（,11,）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。,A,B,C,O,(4),A,B,C,D,O,(5),A,B,C,D,O,(6),E,第,10,页,/,共,18,页,（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。（10）平分弧的直线，平,10,例,1,、,1300,多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥,(,如图,),的桥拱是圆弧形,它的跨度,(,弧所对是弦的长,),为,37.2 m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,也叫弓形高,),为,7.23m,求桥拱的半径,(,精确到,0.01m).,第,11,页,/,共,18,页,例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱,11,A,B,O,C,D,AB,表示桥拱，设,AB,所在的圆的圆心为,O,，半径为,R,，,C,为,AB,的中点，连结,OC,，交,AB,于点,D.,R,解：,OCAB.,OC,就是拱高,.,AD=1/2AB=0.537.02=18.51,OD=OC-DC=,（,R-7.23,）,.,在,RtOAD,中，,OA,2,=OD,2,+AD,2,R,2,=18.51,2,+(R-7.23),2,解得,R27.31.,答,:,赵州桥的桥拱半径约为,27.31m.,C,是,AB,的中点,第,12,页,/,共,18,页,ABOCD AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为,12,练一练,1,、已知：如图,O,中,弦,ABCD,AB,CD,直径,MNAB,垂足为,E,交弦,CD,于点,F.,图中相等的线段有,:,.,图中相等的劣弧有,:,.,A,O,N,M,F,E,D,C,B,第,13,页,/,共,18,页,练一练1、已知：如图,O 中,弦ABCD,ABCD,直,13,A,B,C,D,0,E,F,G,H,2,、如图,圆,O,与矩形,ABCD,交于,E,、,F,、,G,、,H,EF=10,HG=6,AH=4.,求,BE,的长,.,M,3,、在直径为,130mm,的圆铁片上切下一块高为,32mm,的弓形铁片，求弓形的弦的长度。（弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形）,第,14,页,/,共,18,页,ABCD0EFGH2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、,14,.,A,O,B,E,C,D,F,4,、已知：,AB,是,O,直径，,CD,是弦，,AECD,，,BFCD,，求证：,EC,DF.,G,第,15,页,/,共,18,页,.AOBECDF4、已知：A,15,提示,:,这两条弦在圆中位置有两种情况,:,O,A,B,C,D,（,1,）两条弦在圆心的同侧,O,A,B,C,D,（,2,）两条弦在圆心的异侧,垂径定理的推论：,圆的两条平行弦所夹的弧相等,.,5,、求证,:,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等,E,F,E,第,16,页,/,共,18,页,提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD（1）两,16,课堂小结,:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,.,C,D,A,B,O,M,N,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,第,17,页,/,共,18,页,课堂小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作,17,拓展提高,1,、如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为,7.2,米,拱顶高出水面,2.4,米,.,现有一艘宽,3,米、船舱顶部为长方形并高出水面,2,米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,第,18,页,/,共,18,页,拓展提高1、如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,18,
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