D3_1中值定理(精品)

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式,(,第三节,),推广,微分中值定理,与,导数的应用,一、罗尔,(,Rolle,),定理,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、拉格朗日中值定理,三、柯西,(,Cauchy,),中值定理,中值定理,第,三,章,某领域,定义：若函数在,有,则称函数,f,在,称点,为,极大值点,费马 目录 上页 下页 返回 结束,内对一切,取得,极大值,(,极小值,),(,极小值点,),极大值点和极小值点统称极值点,例：,若,切线与,x,轴平行,称为,驻点（稳定点）,费马,(,fermat,),引理,一、罗尔,(,Rolle,),定理,且,存在,证,:,设,则,费马 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,为可导函数,f,的极值点的,注意：定理说明,不是充分条件,必要条件是,例如：,费马 目录 上页 下页 返回 结束,是函数,f,的稳定点,罗尔（,Rolle,）,定理,满足,:,(,1),在区间,a,b,上连续,(2),在区间,(,a,b,),内可导,(3),f,(,a,)=,f,(,b,),使,证,:,故在,a,b,上取得最大值,M,和最小值,m.,若,M,=,m,则,因此,在,(,a,b,),内至少存在一点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若,M m,则,M,和,m,中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注意,:,1),定理中三个条件缺少任何一个定理结论不成立,例如,则由,费马引理得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2),定理条件只是充分的,.,定理中三个条件缺少任何一个定理结论不 成立，但是不能认为定理条件不具备就一定不存在,(a,b),的 使得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,使,本定理可推广为,在,(,a,b,),内可导,且,在,(,a,b,),内至少存在一点,证明提示,:,设,证,F,(,x,),在,a,b,上满足罗尔定理,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,证明方程,有且仅有,一个小于,1,的,正实根,.,证,:1),存在性,.,则,在,0,1,连续,且,由零点定理知存在,使,即方程有小于,1,的正根,2),唯一性,.,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真,!,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,p(x),为多项式函数,证明方程,证明若函数,没有实数根，则,p(x)=0,至多有一个实根。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、拉格朗日中值定理,(,1),在区间,a,b,上连续,满足,:,(2),在区间,(,a,b,),内可导,至少存在一点,使,思路,:,利用,逆向思维,找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内可导,且,证,:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即,定理结论成立,.,拉氏 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,拉格朗日中值定理几何意义,在区间,a,b,上曲线,两端点的连线,至少存在一点,曲线在该点,P,上的切线平行于曲线,拉氏 目录 上页 下页 返回 结束,拉格朗日中值定理的,有限增量形式,(,给出了函数增量的准确表达）,令,则,拉格朗日中值定理的,不同变形,（可根据不同场合灵 活运用）,推论,1:,若函数,在区间,I,上满足,则,在,I,上必为常数,.,证,:,在,I,上任取两点,日中值公式,得,由 的任意性知,在,I,上为常数,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推论,2:,若函数,在区间,I,上可导且,则在区间,I,上有,（,C,为某一定数）,例,3.,证明等式,证,:,设,由推论可知,(,常数,),令,x,=0,得,又,故所证等式在定义域 上成立,.,自证,:,经验,:,欲证,时,只需证在,I,上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,证明不等式,证,:,设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、柯西,(,Cauchy,),中值定理,分析,:,及,(,1),在闭区间,a,b,上连续,(2),在开区间,(,a,b,),内可导,(3),在开区间,(,a,b,),内,至少存在一点,使,满足,:,要证,柯西 目录 上页 下页 返回 结束,证,:,作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知,至少存在一点,思考,:,柯西定理的下述证法对吗,?,两个,不,一定相同,错,!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上面两式相比即得结论,.,柯西定理的几何意义,:,注意,:,弦的斜率,切线斜率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,设,至少存在一点,使,证,:,结论可变形为,设,则,在,0,1,上满足柯西中值,定理条件,因此在,(0,1),内至少存在一点,使,即,证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,试证至少存在一点,使,证,:,法,1,用柯西中值定理,.,则,f,(,x,),F,(,x,),在,1,e,上满足,柯西中值定理,条件,令,因此,即,分析,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,试证至少存在一点,使,法,2,令,则,f,(,x,),在,1,e,上满足,罗尔中值定理,条件,使,因此存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.,微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.,微分中值定理的应用,(,1),证明恒等式,(,2),证明不等式,(,3),证明有关中值问题的结论,关键,:,利用逆向思维,设辅助函数,费马引理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P132 7,8,10,12,14,15,选做,9,，,13,提示,:,题,15.,题,14.,考虑,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.,填空题,1),函数,在区间,1,2,上满足拉格朗日定理,条件,则中值,2),设,有,个根,它们分别在区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上,.,方程,2.,设,且在,内,可导,证明至少存,在一点,使,提示,:,由,结论可知,只需证,即,验证,在,上,满足罗尔定理条件,.,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,7.,设,且,x,满足,时,又,则有,说明,:,1:,若定理中,则类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2:,定理说明如果函数,f(u),和,g(x),满足定理条件,那么做变量代换,u=g(x),可把求极限,3.,若,可导,试证在其两个零点间一定有,的,零点,.,提示,:,设,欲,证,:,使,只要证,亦即,作,辅助函数,验证,在,上,满足,罗尔定理条件,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4.,思考,:,在,即,当,时,问,是否可由此得出,不能,!,因为,是依赖于,x,的一个特殊的函数,.,因此由上式得,表示,x,从右侧,以,任意方式趋于,0.,应用拉格朗日中值定理得,上对,函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,费马,(,1601 1665,),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好,.,他,兴趣广泛,博,览群书并,善于思考,在,数学上有许多,重大贡献,.,他,特别爱好数论,他,提出,的,费马大定理,:,至今尚未得到普遍的证明,.,他,还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的,.,拉格朗日,(,1736,1813,),法国数学家,.,他在,方程论,解析函数论,及,数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于,他的,工作,他是对,分析数学,产生全面影响的数学家之一,.,柯西,(,1789,1857,),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集,共有,27,卷,.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的,分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用,等,有思想有创建,响广泛而深远,.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展,.,复变函数和微分方程方面,.,一生发表论文,800,余篇,著书,7,本,备用题,求证存在,使,1.,设,可导，且,在,连续，,证,：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,证明对任意,有,证,：,2.,不妨设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,