泰勒Taylor级数课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.,泰勒展开定理,2.,展开式的唯一性,3.,简单初等函数的泰勒展开式,4.3,泰勒,(,Taylor,),级数,1.,泰勒,(,Taylor,),展开定理,现在研究与此相反的问题：,一个解析函数能否用幂级数表达,?,(,或者说,一个解析函数能否展开成幂级数,?,解析函,数在解析点能否用幂级数表示？）,由,4.2,幂级数的性质知,:,一个幂级数的和函数在,它的收敛圆内部是一个解析函数。,以下定理给出了肯定回答：,任何,解析函数,都一定,能用幂级数表示。,定理（泰勒展开定理）,D,k,分析：,代入,(1),得,D,k,z,-(*),得证！,证明,(,不讲,),(,不讲,),证明,(,不讲,),2.,展开式的唯一性,结论,解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它,的,Taylor,级数。,利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样,的展开式是否唯一？,事实上,，设,f,(,z,),用另外的方法展开为幂级数,:,由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是,Talor,级数，因而是唯一的。,-,直接法,-,间接法,代公式,由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分,析运算和 已知函数的展开式来展开,函数展开成,Taylor,级数的方法：,3.,简单初等函数的泰勒展开式,例,1,解,上述求,sin,z,cos,z,展开式的方法即为间接法,.,例,2,把下列函数展开成,z,的幂级数,:,解,(2),由幂级数逐项求导性质得：,(1),另一方面，因,ln(1+,z,),在从,z=-1,向左沿负,实轴剪开的平面内解析，,ln(1+,z,),离原点最近的一,个奇点是,-1,它的展开式的收敛范围为,z,1.,定理,1.,预备知识,2.,双边幂级数,3.,函数展开成双边幂级数,4.,展开式的唯一性,4.4,罗朗(,Laurent,),级数,由,4.3,知,f,(,z,),在,z,0,解析,，则,f,(,z,),总可以,在,z,0,的某一个圆域,z,-,z,0,R,内,展开成,z,-,z,0,的幂级数。,若,f,(,z,),在,z,0,点不解析,，,在,z,0,的邻域中就不可能展开成,z,-,z,0,的幂级数，但如果在圆环域,R,1,z,-,z,0,R,2,内解析，,那么，,f,(,z,),能否用,级数表示呢？,例如，,由此推想，若,f,(,z,),在,R,1,z,-,z,0,R,2,内解析,f,(,z,),可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即,本节将讨论在以,z,0,为中心的圆环域内解析,的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解,析函数在,孤立奇点,邻域内的性质以及定义,留数,和计算留数的基础。,1.,预备知识,Cauchy,积分公式的推广到复连通域,-,见第三章第,18,题,D,z,0,R,1,R,2,r,R,k,1,k,2,D,1,z,2.,双边幂级数,-,含有正负幂项的级数,定义,形如,-,双边幂级数,正幂项,(,包括常数项,),部分,：,负幂项部分,：,级数,(2),是一幂级数，设收敛半径为,R,2,，则级数,在,z,-,z,0,=,R,2,内收敛，且和为,s,(,z,),+,;,在,z,-,z,0,=R,2,外发散。,z,0,R,1,R,2,z,0,R,2,R,1,(2),在圆环域的边界,z,-,z,0,=R,1,z,-,z,0,=,R,2,上,3.,函数展开成双边幂级数,定理,证明,由复连通域上的,Cauchy,积分公式：,D,z,0,R,1,R,2,r,R,k,1,k,2,D,1,z,记为,I,1,记为,I,2,式,(*1),(*2),中系数,c,n,的积分分别是在,k,2,，,k,1,上进,行的，在,D,内取绕,z,0,的简单闭曲线,c,，由复合闭路,定理可将,c,n,写成统一式子：,证毕！,级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为,洛朗级数的解析部分和主要部分。,(2),在许多实际应用中，经常遇到,f,(,z,),在奇点,z,0,的邻域内解析，需要把,f,(,z,),展成级数，那么,就利用洛朗（,Laurent,）级数来展开。,级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为,洛朗级数的解析部分和主要部分。,4.,展开式的唯一性,结论,一个在某一,圆环域内解析,的函数展开为含,有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是,f,(,z,),的洛朗级数。,事实上,，,D,z,0,R,1,R,2,c,D,z,0,R,1,R,2,c,由唯一性，将函数展开成,Laurent,级数，可,用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方,法求函数在指定圆环域内的,Laurent,展开式，只有,在个别情况下，才直接采用公式,(5,),求,Laurent,系,数的方法。,例,1,解,例,2,解,例,3,解,例,4,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,x,y,o,1,2,解,:,没,有,奇,点,注意首项,(2),对于,有理函数,的,洛朗展开式，首先把有理,函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。,小结：把,f,(,z,),展成洛朗,(,Laurent,),级数的方法：,解,(1),在,(,最大的,),去心邻域,例,5,y,x,o,1,2,(2),在,(,最大的,),去心邻域,x,o,1,2,练习：,(2),根据区域判别级数方式：,在圆域内需要把,f,(,z,),展成泰勒,(Taylor),级数，,在环域内需要把,f,(,z,),展成洛朗,(,Laurent,),级数。,(3),Laurent,级数与,Taylor,级数的不同点：,Taylor,级数先展开求,R,找出收敛域。,Laurent,级数先求,f(z),的奇点，然后以,z,0,为中心，奇点为分隔点，找出,z,0,到无穷远,点的所有使,f(z),解析的环，在环域上展成,级数。,作业,P143 12(1)(3),16(2)(3),