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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,恒谦教育教学资源库,教师备课、备考伴侣,专注中国基础教育资源建设,双曲线及其标准方程,数 学 实 验,1,取一条拉链，,2,如图把它固定在板上的两点,F,1,、,F,2,3,拉动拉链（,M,）思考拉链运动的轨迹,差,等于常数,的点的轨迹是什么呢？,平面内与两定点,F,1,、,F,2,的距离的,动画演示,双曲线的定义：,平面内到两定点,F,1,，,F,2,的距离的差的绝对值等于常数,2a,（,0,2a,F,1,F,2,）,的点的轨迹是,双曲线,.,这两个,定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距，用,2c,来表示,F,2,F,1,M,x,O,y,若,PF,1,PF,2,2a(0,2a,F,1,F,2,),，则,P,的轨迹是双曲线,若,2a,0,，,则轨迹是,F,1,F,2,的中垂线,若,2a,F1F2,，则轨迹是以,F1,、,F2,为端点的两射线,若,2a,F1F2,，则轨迹不存在,设,M,（,x,y,）是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为,2c,（,c0,）,则,F,1,(-c,0),F,2,(c,0),常数,=2a,以,F,1,F,2,所在的直线为,x,轴，线段,F,1,F,2,的中点为原点建立直角坐标系,1.,建系,.,设点,2.,列式,3.,化简,.,y,o,M,F,2,F,1,x,双曲线的标准方程,o,F,2,F,M,y,x,1,F,2,F,1,M,x,O,y,双曲线的标准方程,O,M,F,2,F,1,x,y,（,1,）双曲线的标准方程用减号“,-,”,连接；,（,2,）双曲线方程中,a,0,b0,但,a,不一定大于,b,说明,：,（,3,）如果,x,2,的系数是正的，则焦点在,x,轴上；,如果,y,2,的系数是正的，则焦点在,y,轴上；,（,4,）双曲线标准方程中，,a,，,b,，,c,的关系是,c,2,=,a,2,+b,2,；,（,5,）双曲线的标准方程可统一写成,A,x,2,-B,y,2,=1,（,AB0),F(c,0),F(0,c),定 义,方 程,焦 点,a.b.c,的关系,F（c，0）,F（c，0）,a0,，,b0,，但,a,不一定大于,b,，,c,2,=a,2,+b,2,ab0，a,2,=b,2,+c,2,双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF,1,|MF,2,|=2a,|MF,1,|+|MF,2,|=2a,椭 圆,双曲线,F（0，c）,F（0，c）,练习,判断下列各双曲线方程焦点所在的坐标轴；求,a,、,b,、,c,各,为多少？,练习,写出双曲线的标准方程,1,、已知,a=3,b=4,焦点在,x,轴上，双曲线的标准方程为,2,、已知,a=3,b=4,焦点在,y,轴上，双曲线的标准方程为,3,、,a,=,经过点,A(2,，,5),焦点在,y,轴上。,若双曲线上有一点，且,|,F,1,|=10,则,|,F,2,|=_,例,1,已知双曲线的焦点为,F,1,(-5,0),F,2,(5,0),，,双曲线上,一点,P,到,F,1,、,F,2,的距离的差的绝对值等于,6,，求双曲线,的标准方程,.,4,或,16,方程 表示双曲线时，则,m,的取值,范围是,_.,变式,:,例,2.,已知,A,、,B,两地相距,800m,，在,A,处听到,炮弹爆炸声的时间比在,B,处晚,2s,且声速为,340m/s,，求炮弹爆炸点的轨迹方程,例题,3,：已知两点,A,（,5,0,）,B,（,5,，,0,），动点,M,满足,K,AM,K,BM,。求,M,点的轨迹。,思考：已知,F,1,、,F,2,为双曲线 的焦点，弦,MN,过,F,1,且,M,N,在同一支上，若,|,MN,|=7,求,MF,2,N,的周长,.,F,2,F,1,M,N,x,y,o,思考：已知双曲线,16,x,2,-9,y,2,=144,求焦点的坐标；,设,P,为双曲线上一点，且,|,PF,1,|,|,PF,2,|=32,，,求 ；,设,P,为双曲线上一点，且,F,1,PF,2,=120,，,求,.,2.2.2,双曲线的简单几何性质,2,、对称性,双曲线 的几何性质,1,、范围,关于,x,轴、,y,轴和原点都是对称的,.,。,x,轴、,y,轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心,.,双曲线的对称中心叫做双曲线的,中心,.,.,.,y,B,2,A,1,A,2,B,1,x,O,F,2,F,1,3,、顶点,（,1,）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的,顶点,x,y,o,如图，线段 叫做双曲线的实轴，它的长为,2a,a,叫做半,实,轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为,2b,b,叫做双曲线的半,虚,轴长,（,3,）,x,y,o,a,4,、渐近线,M,N,P,(2),实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,.,5,、离心率,e,反映了,双曲线,开口,大小,e,越大 双曲线开口越大,e,越小 双曲线开口越小,x,y,o,（,3,）离心率范围：,（,2,）离心率的几何意义：,e1,a,b,关于,x,轴、,y,轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A,1,（-,a,，0），A,2,（,a,，0）,A,1,（0，-,a,），A,2,（0，,a,）,关于,x,轴、,y,轴、原点对称,渐进线,.,.,y,B,2,A,1,A,2,B,1,x,O,F,2,F,1,x,B,1,y,O,.,F,2,F,1,B,2,A,1,A,2,.,F,1,(-c,0),F,2,(c,0),F,2,(0,c),F,1,(0,-c),如何记忆双曲线的渐进线方程？,例,1,、（,1,）求双曲线,9y,2,16x,2,=144,的实半轴长、,虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程；,（,2,）求双曲线,9y,2,16x,2,=,144,的实半轴长、,虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程；,例,2,:,求双曲线的标准方程：,“共渐近线”的双曲线的应用,0,表示焦点在,x,轴上的双曲线；,0,表示焦点在,y,轴上的双曲线。,练习：,1.,求与椭圆,有共同焦点，渐近线方程为,的双曲线方程。,2,、求以椭圆 的焦点为顶点，以椭圆的,顶点为焦点的双曲线的方程。,例,3,、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线,的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的,最小半径为,12m,上口半径为,13m,下口半径,为,25m,高,55m.,选择适当的坐标系，求出此,双曲线的方程,(,精确到,1m).,A,A,0,x,C,C,B,B,y,13,12,25,例,4,、,解：,x,y,.,.,F,O,M,.,关于,x,轴、,y,轴、原点对称,图形,方程,范围,对称性,顶点,离心率,A,1,（-,a,，0），A,2,（,a,，0）,A,1,（0，-,a,），A,2,（0，,a,）,关于,x,轴、,y,轴、原点对称,渐进线,.,.,y,B,2,A,1,A,2,B,1,x,O,F,2,F,1,x,B,1,y,O,.,F,2,F,1,B,2,A,1,A,2,.,F,1,(-c,0),F,2,(c,0),F,2,(0,c),F,1,(0,-c),如何记忆双曲线的渐进线方程？,
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