第三章常微分方程数值解课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,化工应用数学第三章,第三章,常微分方程的数值解法,主,要,内,容,3.1,、引言,3.2,、初值问题,3.3,、边值问题,?,1,化工应用数学第三章 第三章 常微分方程的数值解法 主 要,化工应用数学第三章,3.1,、引,言,1.,什么是微分方程,?,在化学工程中关于扩散、反应、传质、传热,和流体流动等问题的数学模型。,微分方程：,是包含一个未知函数及其导数关,系的方程。,常微分方程：,其中只包含一个自变量的导数,的方程。,?,2,化工应用数学第三章 3.1、引 言 1.什么是微分方程,化工应用数学第三章,例题：,r,dc,p,P,?,dt,?,k,1,c,A,r,dc,s,A,?,k,S,?,1,?,P,dt,?,k,2,c,A,r,?,dc,T,T,A,?,k,2,?,S,dt,?,k,3,c,A,r,?,dc,A,A,?,k,A,?,dt,?,?,k,1,?,k,2,?,k,3,?,c,A,3,?,T,对于,r,?,dc,A,A,?,dt,?,?,k,1,?,k,2,?,k,3,?,c,A,:,求解,c,A,利用以前所学知识，进行积分可得：,c,(,k,A,?,e,?,1,?,k,2,?,k,3,),t,c,A,0,求解这样的方程一般我们需要给定初值。,?,3,化工应用数学第三章 例题：rdcpP?dt?k1cAr,化工应用数学第三章,例题：,一维均匀介质稳态导热问题。设其一端绝热，另一端恒,温为,T,1,，则此问题模型可用一常微分方程边值问题来描述。,d,dT,?,(,k,),?,0,?,?,dx,dx,?,dT,?,x,?,0,?,0,T,(,L,),?,T,1,?,?,dx,由以上两例可以看出，初值问题和边值问题区别在于：前者,在自变量一端给定附加条件，后者在自变量两端附加条件。,?,4,化工应用数学第三章 例题：一维均匀介质稳态导热问题,?,3.2,、初值问题,1.,尤拉法（,Euler,）,2,局部截断误差,3,改进尤拉法,4.,龙格,-,库塔法,5.,常微分方程组,6.,步长的选择,7.,收敛性和稳定性,8.,线性多步法,化工应用数学第三章,5,?3.2、初值问题 1.尤拉法（Euler）2,化工应用数学第三章,1.,尤拉,(Euler),法,一般初值问题可表示为,各,?,a,?,x,?,b,(1.1),种,?,y,?,?,f,(,x,y,),数,?,y,(,x,0,),?,y,值,0,(1.2),解,法,其中,f,(,x,y,),是已知函数，,(1.2),是定解条件也称为,初值,条件。,?,6,化工应用数学第三章 1.尤拉(Euler)法 一般初值,化工应用数学第三章,1.,尤拉,(Euler),法,考虑一阶初值问题,：,?,?,f,(,x,y,),y,?,?,?,y,(,a,),?,y,?,0,?,a,?,x,?,b,弄清常微方程初值,问题数值解法的一,些基本概念和构造,方法的思路,.,通过欧拉方法的讨论,最简单而直观实用方法,?,7,化工应用数学第三章 1.尤拉(Euler)法 考虑一阶,化工应用数学第三章,1.,尤拉,(Euler),法,把区间,a,b,分为,n,个小区间,步长为,h,i,?,(,x,i,?,1,-,x,i,),n,等份,节点,x,i,?,a,?,ih,i,一般取,h,i,?,h,(,?,(,b,?,a,),/,n,),即等距，要计算出解函数,y,(,x,),在一系列节点,a,?,x,0,?,x,1,?,.,?,x,n,?,b,处的近似值,u,0,u,1,?,u,n,?,8,化工应用数学第三章 1.尤拉(Euler)法 把区间,化工应用数学第三章,1.,尤拉,(Euler),法,?,?,y,?,?,f,(,x,y,),a,?,x,?,b,?,y,(,a,),?,y,0,假定是,y(x),初值问题的解，那么，把在节点,x,i,附近展开,成,Taylor,级数，则,2,y,(,x,?,(,x,h,i,?,1,),?,y,(,x,i,),?,h,y,i,),?,2,y,?,?,(,?,),2,?,y,(,x,h,i,),?,hf,(,x,i,y,(,x,i,),?,2,y,?,?,(,?,),取前两项，并令,u,i,?,y,(,x,i,),u,i,?,1,?,u,i,?,hf,(,x,i,u,i,),?,9,化工应用数学第三章 1.尤拉(Euler)法?y?,化工应用数学第三章,1.,尤拉,(Euler),法,u,i,?,1,?,u,i,?,hf,(,x,i,u,i,),依上述公式逐次计算可得：,u,1,?,u,0,?,hf,(,x,0,u,0,),u,2,?,u,1,?,hf,(,x,1,u,1,),.,u,n,?,1,?,u,n,?,hf,(,x,n,u,n,),每步计算,u,n,?,1,只用到,u,n,?,10,化工应用数学第三章 1.尤拉(Euler)法 ui?1,化工应用数学第三章,几何意义,过点,(,x,0,y,0,),的曲线是解,y,(,x,),在,(,x,0,y,0,),作,y,(,x,),的切线,(,斜率,u,1,),与直线,x,?,x,1,交于,P,1,点,?,再作切线（斜率,u,2,）与直线,x,?,x,2,交于,P,2,点,?,?,?,P,2,P,1,y,?,y,(,x,),P,0,x,0,x,1,x,2,?,11,化工应用数学第三章 几何意义 过点(x0,y0),化工应用数学第三章,1.,尤拉,(Euler),法,例题：,用尤拉法解下列方程组，取,h,=0.1,。,?,?,?,y,?,?,y,?,2,x,y,(,0,?,x,?,1,),?,?,y,(,0,),?,1,.,解,取步长,h,=0.1,，欧拉公式的具体形式为,y,y,2,x,n,n,?,1,?,n,?,h,(,y,n,?,y,),n,已知,y,0,=1,由此式可得,y,?,h,(,y,2,x,0,1,?,y,0,0,?,y,),?,1,?,0,.,1,?,1,.,1,0,y,?,y,2,x,1,0,.,2,2,1,?,h,(,y,1,?,y,),?,1,.,1,?,0,.,1,(,1,.,1,?,.,1,),?,1,.,191818,1,1,?,.,12,化工应用数学第三章 1.尤拉(Euler)法 例题：用,化工应用数学第三章,1.,尤拉,(Euler),法,x,n,尤拉公式数值解,y,n,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.191818,1.358213,1.508966,1.649783,1.784770,准确解,y,(,x,n,),1.183216,1.341641,1.483240,1.612452,1.732051,误差,0.008602,0.016572,0.025726,0.037331,0.052719,与准确解,y,?,1,?,2,x,相比，可看出欧拉公式的计算结,果误差较大,.,?,13,化工应用数学第三章 1.尤拉(Euler)法 xn,化工应用数学第三章,2.,局部截断误差,u,i,?,y,(,x,i,),即第,i,步计算是精确的前提下，考虑的,定义,在假设,R,i,?,y,(,x,i,?,1,),?,u,i,?,1,称为局部截断误差。,截断误差,定义,若某算法的局部截断误差为,O,(,h,p,+1,),，则称该算法有,p,阶精度。,?,尤,拉法的局部截断误差：,R,i,?,y,(,x,i,?,1,),?,u,i,?,1,?,y,(,x,i,),?,hf,(,x,i,y,i,),?,h,2,2,y,?,?,(,x,i,),?,y,(,x,i,),?,hf,(,x,i,y,i,),2,?,h,2,2,y,?,?,(,x,i,),?,O,(,h,),因此，尤拉法具有,1,阶精度。,?,14,化工应用数学第三章 2.局部截断误差 ui?y(xi),化工应用数学第三章,3.,改进的尤拉方法,显式尤拉公式,将,y,(,x,i,+1,)=,y,(,x,i,+,h,),在,处,Taylor,展开,隐式尤拉公式,将,y,(,x,i,+1,)=,y,(,x,i,+,h,),在,处,Taylor,展开,显式法计算较简单，隐式法计算复杂，可以编程。,?,15,化工应用数学第三章 3.改进的尤拉方法 显式尤拉公式,化工应用数学第三章,3.,改进的尤拉方法,隐式尤拉公式,显式,与,隐式,两类方法各有特点，考虑到数值稳,定性等其他因素，人们有时需要选用,隐式,方法，但,使用,显式,算法远比,隐式,方便。,隐式方程通常用迭代法求解，而迭代过程的实,质是,逐步显式化,。,?,16,化工应用数学第三章 3.改进的尤拉方法 隐式尤拉公式,化工应用数学第三章,3.,改进的尤拉方法,尤拉法,隐式尤拉法,两式相加可得改进的尤拉公式，通常将其与显示尤拉公式联用,h,?,?,u,i,?,1,?,u,i,?,f,(,x,i,y,i,),?,f,(,x,i,?,1,y,i,?,1,),?,?,2,?,u,i,?,1,?,u,i,?,hf,(,x,i,y,i,),?,?,17,化工应用数学第三章 3.改进的尤拉方法 尤拉法 隐式尤,化工应用数学第三章,3.,改进的尤拉方法,?,改进尤拉法,/*modified Eulers method*/,Step 1,:,先用,显式尤,拉公式作,预测,，算出,u,i,?,1,?,u,i,?,hf,(,x,i,y,i,),y,Step 2,:,再将,1,代入,隐式,梯形公式的右边作,校正,，得到,i,?,u,i,?,1,h,?,u,i,?,f,(,x,i,y,i,),?,f,(,x,i,?,1,y,i,?,1,),2,h,u,i,?,1,?,u,i,?,?,f,(,x,i,y,i,),?,f,?,x,i,?,1,u,i,?,h,f,(,x,i,y,i,),?,?,2,(,i,?,0,.,n,?,1,),改进的尤拉公式是二阶方法，但计算量增加了一倍。,?,18,化工应用数学第三章 3.改进的尤拉方法?改进尤拉法,化工应用数学第三章,例：,?,?,y,?,x,?,y,?,1,x,?,0,0.5,?,y,(0),?,1,h,?,0.1,解：由改进的尤拉公式可得,u,?,u,h,i,?,1,i,?,2,f,(,x,i,y,i,),?,f,(,x,i,?,1,y,i,?,1,),y,i,?,1,?,y,?,0.1,i,2,x,i,?,y,i,?,1,?,x,i,?,1,?,y,i,?,0.1(,x,i,?,y,i,将数值代入，进行逐步计算。,一般对于改进的尤拉法可采用计算机编程进行计算。,?,?,1),?,1,19,化工应用数学第三章 例：?y?x?y?1 x?0,化工应用数学第三章,4.,龙格,