资源描述
Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,3/20/2017,#,2.2,离散型随机变量及其分布律,二,、两点分布,三,、二项分布,四,、泊松分布,五,、几何分布,一,、,离散型随机变量的分布律,2.2 离散型随机变量及其分布律二、两点分布三、二项分布四、,定义,如果一个随机变量仅可能取得,有限个或可列个,数值，并且所有的数可按一定的顺序排列，则称该随机变量为离散型随机变量,.,设离散型随机变量,X,其可能的取值为,称,为离散型随机变量,X,的概率分布或概率函数，也称为分布列或分布律,一、离散型随机变量,的,分布律,定义 如果一个随机变量仅可能取得有限个或可列个数值，并且所有,2,表格形式,分布列的性质：,用这两条性质,判断一个函数,是否是分布律,表格形式分布列的性质：,3,概率直方图,另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图,.,0.2,0.4,0.6,0,1,2,0.075,0.325,0.6,线条图,0.2,0.4,0.6,0,1,2,P,X,P,X,0.075 0.325,0.6,0 1 2,X,概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.0,4,例,袋中有,1,个白球和,4,个黑球，每次不放回地从中任取一个球，直至取得白球为止，求取球次数的概率分布,.,解,设,X,为取到白球时的取球次数,因此,所求的概率分布为,1 2 3 4 5,0.2 0.2 0.2 0.2 0.2,例袋中有1个白球和4个黑球，每次不放回地从中任取一个球，直至,5,解,:,依据分布律的性质,P(,X,=,k,)0,c,0,从中解得,即,例,设随机变量,X,的分布律为：,k,=0,1,2,试确定常数,c,.,解:依据分布律的性质P(X=k)0,c0,从中,6,定义,若一个随机变量,只有两个可能的取值,其分布为,且,特别地,点分布,即,参数为,的两,则称,服从,处,的,两点分布,.,参数为,若,服从,处,则称,服从参数为,的,分布,.,二,、,两点分布,定义若一个随机变量只有两个可能的取值,其分布为且特别地,点分,7,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布,.,说明,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两,8,例,200,件产品中,有,196,件,是正品,则,服从参数为,0.98,的两点分布,.,于是,4,件,是次品,今从中随机地抽取一件,若规定,例200 件产品中,有196件是正品,则服从参数为 0.98,9,复习：伯努利模型,如果一个试验在给定的条件下独立重复,n,次,且满足,:,(1),每次试验只有两个可能的结果,:,且,则称这样的试验为,n,重伯努利,(Bernoulli),试验,(2),每次试验中事件 发生的概率相等,定理,(,伯努利定理,),设在一次试验中，,事件,发生的概率为,则在,重贝努利,试验中，,事件,A,恰好发生,k,次的概率为,复习：伯努利模型如果一个试验在给定的条件下独立重复n次,且满,10,三,、,二项分布,定义,若随机变量,X,的所有可能取值为,0,1,2,n,其概率分布为,性质,(1),(2),特别地，当,n=1,时,即,P,X,=0=1-,p,P,X,=1=,p,(0-1),分布,三、二项分布定义 若随机变量X的所有可能取值为0,1,2,二项分布的图形,二项分布的图形,12,二项分布中最可能出现,次数,则称 为最可能出现的,次数,二项分布中最可能出现次数则称 为最可能出现的次数,13,例,一张考卷上有,5,道选择题，每道题列出,4,个可能,答案，其中只有一个答案是,正确,某,学生,靠猜测至少能答对,4,道题的概率是多少？,解,则,例 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有,解,：将每次射击看成一次试验,设击中的次数为,X,则,XB(400,0.02),某人进行射击，设每次射击的命中率为,0.02,，独立射击,400,次，求至少击中两次的概率。,所求概率,为,解：将每次射击看成一次试验,设击中的次数为X,则XB(40,15,泊松分布的背景及应用,二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时,他们做了,2608,次观察,(,每次时间为,7.5,秒,),发现放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数,X,服从泊松分布,.,泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观,16,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,地震,火山爆发,特大洪水,在生物学,、,医学,、,工业统计、保险科学及,公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的,.,例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电,话呼唤次数等,都服从泊松分布,.,电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水,17,随机变量,X,所有可能取值为,0,1,2,取各个值的概率,称,X,服从参数为,的,泊松分布,记为,X,P,(,).,(1),P,X=k,0.,四,、,泊松,(Poisson),分布,性质,随机变量X所有可能取值为0,1,2,取各个值的概率称X服,18,例,一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为,6,的,Poisson,分布，问一年中不多于两次意外断电的概率,.,解,设一年中的意外断电次数为,X,所以,一年中不多于两次断电的概率为,=0.06197,查表,(,累积概率,),例一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为6的Poisso,19,二项分布的泊松逼近,对二项分布,当试验次数,很大时，,计,算其概率很麻烦,.,例如，,要计算,n,=5000,二项分布的泊松逼近对二项分布当试验次数很大时，计算其概率很麻,20,泊松,定理,在,重伯努利实验中，,事件,在,每次试验中发生的概率为,若当,时，,为常数,),则有,泊松定理在重伯努利实验中，事件在每次试验中发生的概率为若当时,21,证明,:,证明:,22,例,一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记,录知道,某种商品每月的销售数可以用参数 的,泊松分布来描述,为了以,95%,以上的把握保证不脱,销,问商店在月底至少应进该种商品多少件,?,解,设该商品每月的销售数为,已知,服从参数,的泊松分布,.,设商店在月底应进该种商品,件,求满足,的最小的,即,查泊松分布表,得,于是得,件,.,例 一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记解设该商品每月,23,例,设一只昆虫所生虫卵数为随机变量,X,已知,X P,(,),，且每个虫卵发育成幼虫的概率为,p,。设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的，求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数,Y,的概率分布。,解,一只昆虫,X,个虫卵,Y,个幼虫,已知,对,k,用全概率公式得：,例 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X,已知X P(,24,保险公司为了估计企业的利润，需要计算投保人在一年内死亡若干人的概率。设某保险公司的某人寿保险险种有,1000,人投保,每个人一年内死亡的概率为,0.005,个，,试求在未来一年中在这些投保人中死亡人数不超过,10,人的概率,对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一次,伯努利,试验，,1000,人就是做,1000,重,伯努利,试验，因此,XB(1000,0.005),，,解,由泊松定理,保险公司为了估计企业的利润,25,考虑,可列重,伯努利试验，事件,A,发生称为,“成功”,，,k,-1,k,称随机变量,X,服从,参数为,p,的几何分布,。且记 为,五,、,几何,分布,考虑可列重伯努利试验，事件A发生称为“成功”，k-1k,26,定理 几何分布的无记忆性,设 随机变量,X,服从参数为,p,的几何分布，则对任何正整数,m,、,n,，有,P(,X,m,+,n,|,X,m,)=P(,X,n,),。,证明,随机变量,X,服从参数为,p,的几何分布：,P(,X,=,k,)=,pq,k,1,，,k,=1,，,2,，,（,0,p,1,，,q,=1,p,）,对任何正整数,m,、,n,，有,反之，具有无记忆性的离散分布一定是几何分布,P29,充分性证明,交,定理 几何分布的无记忆性 设 随机变量X 服从参数为 p,27,例,在,Bernoulli,试验,中,成功的概率为,p,求第,k,次试验恰好成功第,r,次的概率,解,:,第,k,次试验恰好成功第,r,次,即,前,k,-1,次有,r,-1,次成功,由二项分布,概率为,前,k,-1,次成功多少次与第,k,次是否成功相互独立,故第,k,次试验恰好成功第,r,次的概率为,例在Bernoulli试验中,成功的概率为p,求第k次试验恰,28,
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