高中数学选修4-413简单曲线的极坐标方程

,-,#,-,三简单曲线的极坐标方程,三简单曲线的极坐标方程,1,.,极坐标方程的定义,一般地,在极坐标系中,如果平面曲线,C,上,任意一点,的极坐标中,至少有一个,满足方程,f,(,),=,0,并且坐标适合方程,f,(,),=,0,的点都在,曲线,C,上,那么方程,f,(,),=,0,叫做曲线,C,的极坐标方程,.,2,.,圆的极坐标方程,(1),圆心在,C,(,a,0)(,a,0),半径为,a,的圆的极坐标方程为,=,2,a,cos,(,如图,);,(2),圆心在极点,半径为,r,的圆的极坐标方程为,=r,(,如图,);,(,3),圆心在,点,处,且过极点的圆的极坐标方程为,=,2,a,sin,(0,)(,如图,),.,做一做,1,在极坐标系中,以,(3,0),为圆心,半径等于,3,的圆的极坐标方程为,.,答案：,=,6cos,3,.,直线的极坐标方程,(1),若直线,l,经过极点,从极轴到直线,l,的角为,(0,),则直线,l,的极坐标方程为,=,(,R,),或,=,+,(,R,);,(2),当直线,l,经过点,M,(,a,0),且垂直于极轴时,直线,l,的极坐标方程为,cos,=a,;,(3),当直线,l,经过点,M,且,平行于极轴时,直线,l,的极坐标方程为,sin,=b,;,(4),若直线经过点,M,(,0,0,),且从极轴到此直线的角为,则直线,l,的极坐标方程为,sin(,-,),=,0,sin(,-,0,),.,做一做,2,过点,P,且,垂直于极轴的直线的极坐标方程是,.,4,.,若,0,我们规定点,M,(,),与点,P,(,-,),关于,极点,对称,.,5,.,曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化,做一做,3,直角坐标方程,x,2,+,(,y-,2),2,=,4,化为极坐标方程是,.,解析：,x,2,+,(,y-,2),2,=,4,可以化为,x,2,+y,2,=,4,y,把,代入,得,(,cos,),2,+,(,sin,),2,=,4,sin,化简整理得,2,=,4,sin,.,因为曲线经过极点,所以极坐标方程可简化为,=,4sin,.,答案：,=,4sin,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画,“,”,错误的画,“,”,.,(1),在极坐标系中,曲线的极坐标方程是唯一的,.,(,),(2),x,轴所在的直线在极坐标系中的方程为,=,0,.,(,),(3),极坐标方程,=,3,表示的曲线是圆,.,(,),(4),圆,x,2,+y,2,=,1,化为极坐标方程一定是,=,1,.,(,),(5),极坐标方程,cos,=,(,0),表示的曲线是两条射线,.,(,),探究一,探究二,探究三,思维,辨析,求圆的极坐标方程,【例,1,】,在极坐标系中,求半径为,r,圆心为,C,的,圆的极坐标方程,.,分析：,根据题意画出草图,设出点,M,(,),建立,的方程并化简,最后进行检验,.,解,：,由,题意知,圆经过极点,O,设,OA,为其一条直径,M,(,),为圆上除点,O,A,以外的任意一点,如图,则,|OA|=,2,r,连接,OM,AM,则,OM,MA.,在,Rt,OAM,中,|OM|=|OA|,cos,AOM,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,变式训练,1,在如图所示的极坐标系中,以,M,为,圆心,半径,r=,1,的圆,M,的极坐标方程是,.,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,探究二,求直线的极坐标方程,【例,2,】,导学号,73760008,求过点,A,(1,0),且与极轴所成的角,为,的,直线的极坐标方程,.,分析：,本题可用两种解法,:,(1),先根据题意画出草图,并设点,M,(,),是直线上除点,A,外的任意一点,从而由等量关系建立关于,的方程并化简,最后检验是不是所求即可,;,(2),先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方程,然后由,公式,化为,极坐标方程即可,.,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,解法一,如图,设,M,(,)(,0),为直线上除点,A,以外的任意一点,连接,OM.,化简,得,(cos,-,sin,),=,1,.,经检验点,A,(1,0),的坐标适合上述方程,.,所以满足条件的直线的极坐标方程为,(cos,-,sin,),=,1,.,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,解法二,以极点,O,为直角坐标原点,极轴为,x,轴正半轴,建立平面直角坐标系,xOy,直线的斜率,k=,tan,=,1,直线方程为,y=x-,1,.,将,y=,sin,x=,cos,代入上式,得,sin,=,cos,-,1,所以,(cos,-,sin,),=,1,.,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,极坐标,方程与直角坐标方程的互化,【例,3,】,(1),直角坐标方程,y,2,=,4,x,化为极坐标方程为,;,(2),直角坐标方程,y,2,+x,2,-,2,x-,1,=,0,化为极坐标方程为,;,(3),极坐标方程,=,(,0),化为直角坐标方程为,;,(4),极坐标方程,2,cos 2,=,4,化为直角坐标方程为,.,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,解析：,根据互化公式求解,.,(1),将,x=,cos,y=,sin,代入,y,2,=,4,x,得,(,sin,),2,=,4,cos,.,化简,得,2,sin,2,=,4,cos,.,因为极点在曲线上,所以极坐标方程可简化为,sin,2,=,4cos,.,(2),将,x=,cos,y=,sin,代入,y,2,+x,2,-,2,x-,1,=,0,得,(,sin,),2,+,(,cos,),2,-,2,cos,-,1,=,0,化简,得,2,-,2,cos,-,1,=,0,.,(4),2,cos,2,=,4,2,cos,2,-,2,sin,2,=,4,即,x,2,-y,2,=,4,.,答案：,(1),sin,2,=,4cos,(2),2,-,2,cos,-,1,=,0,(,3),y=x,(,x,0),(4),x,2,-y,2,=,4,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,变式训练,3,(1),极坐标方程,=,4,a,sin,化为直角坐标方程为,;,(2),极坐标方程,=,9(cos,+,sin,),化为直角坐标方程为,.,(3),直角坐标方程,x+y-,2,=,0,化为极坐标方程是,;,(4),直角坐标方程,2,x,2,+,2,y,2,-,3,x+,7,=,0,化为极坐标方程是,.,解析：,(1),两边同乘,得,2,=,4,a,sin,.,2,=x,2,+y,2,sin,=y,直角坐标方程为,x,2,+y,2,=,4,ay.,探究一,探究二,探究三,思维,辨析,(2),把方程变形为,2,=,9(,cos,+,sin,),2,=x,2,+y,2,cos,=x,sin,=y,直角坐标方程为,x,2,+y,2,=,9(,x+y,),即,x,2,+y,2,-,9,x-,9,y=,0,.,(3),把,x=,cos,y=,sin,代入,x+y-,2,=,0,得,cos,+,sin,-,2,=,0,.,即,(cos,+,sin,),=,2,.,(,4),把,x=,cos,y=,sin,代入,2,x,2,+,2,y,2,-,3,x+,7,=,0,得,2,2,cos,2,+,2,2,sin,2,-,3,cos,+,7,=,0,.,化简得,2,2,-,3,cos,+,7,=,0,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,极坐标表述不准确致误,典例,已知曲线,C,1,C,2,的极坐标方程分别为,cos,=,3,=,4cos,(,0),则曲线,C,1,与,C,2,交点的极坐标为,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,极坐标方程,=,(,R,),表示的曲线是,(,),A.,直线,B.,射线,C.,圆,D,.,半圆,答案：,A,1 2 3 4 5,1,.,在极坐标系中,过,点,且,平行于极轴的直线的极坐标方程是,(,),A.,sin,=-,2B.,cos,=-,2,C.,sin,=,2D.,cos,=,2,解析：,过,点,与,极轴平行的直线为,y=-,2,即,sin,=-,2,.,答案：,A,1 2 3 4 5,2,.,极坐标方程为,=,2cos,的圆的半径为,(,),A.1B.2,C,.,D.3,解析：,由,=,2cos,得,2,=,2,cos,化为直角坐标方程为,x,2,+y,2,=,2,x,即,(,x-,1),2,+y,2,=,1,其对应的半径为,1,.,答案：,A,1 2 3 4 5,3,.,曲线的极坐标方程,=,4cos,化成直角坐标方程为,.,解析：,由已知得,2,=,4,cos,即,x,2,+y,2,=,4,x,整理得,(,x-,2),2,+y,2,=,4,.,答案：,(,x-,2),2,+y,2,=,4,1 2 3 4 5,4,.,在极坐标系中,点,到,直线,cos,=,2,的距离是,.,解析：,点,的,直角坐标为,(0,1),直线,cos,=,2,的直角坐标方程为,x=,2,故点,(0,1),到直线,x=,2,的距离,d=,2,.,答案：,2,1 2 3 4 5,5,.,求以,C,(4,0),为圆心,半径等于,4,的圆的极坐标方程,.,解：,设圆,C,交极轴于另一点,A,P,(,),为圆,C,上任意一点,(,不与点,O,A,重合,),则,|OA|=,8,.,连接,OP,PA.,在,Rt,AOP,中,|OP|=|OA|,cos,即,=,8cos,经验证点,O,、点,A,也满足该等式,.,所以圆,C,的极坐标方程为,=,8cos,.,