常微分方程初值问题的数值解法--课件

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,常微分方程初值问题的数值解法,第,7,章,引言,在实际问题中，常需要求解微分方程,(,如发电机转子运动方程,),。,只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解，而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解。,常微分方程：,-(1),-(2),一阶常微分方程,-(3),(1),(2),式称为,初值问题,(,3),式称为,边值问题,-(4),另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组,:,本课程主要研究问题,一阶常微分方程,(1),的数值解法,我们首先介绍初值问题,(1),的解存在的条件,定理,只要,f,(,x,y,),连续，且关于,y,满足,Lipschitz,条件,，即存在与,x,y,无关的常数,L,使,对任意定义在,a,b,上的,y,1,(,x,),和,y,2,(,x,),都成立，则初值问题（,1,）,存在唯一解,。,（通常采用,等距节点）,对于问题,(1),要求它的,数值解,常微分方程数值解公式的推导,求初值问题数值解的方法是,步进法,，即从已知的初值,y,0,出发，通过,一定的计算,求,y,1,，然后由,y,1,或,y,0,和,y,1,求出,y,2,，依次计算到,y,n,，即在计算出,y,k,后计算,y,k+1,，这时有,单步法,：计算,y,k+1,时，只利用,y,k,多步法,：计算,y,k+1,时，用到,y,k,y,k-1,y,k-2,常微分方程数值解公式的主要推导方法,泰勒展开,利用差商,利用数值积分法,1,、泰勒展开的求解思路,：,将 按泰勒级数展开,用 的近似值 代入上式右端，记所得结果为,，则得到数值解序列的计算公式,：,2,、化导数为差商的求解方法思路：,若在点 处的导数用差商来近似代替，如向前差商,则微分方程初值问题化为,将近似号改为等号，精确解,改为近似解 ，得,3,、数值积分的求解思路,：,如果将微分方程 在各小区间 上对其两边进行积分，即,如用矩形数值积分公式可得：,以上三种方法推导出同一个数值求解公式,:,这个数值公式称为,欧拉,(Euler),公式。,7.1,欧拉方法,一、,欧拉格式：,x,0,x,1,向前差商近似导数,记为,欧拉公式几何意义,用一条通过初始点的折线近似表示解曲线,亦称为,欧拉折线法,，,或称为,矩形法。,一般形式,1,、显式欧拉公式,在假设,y,k,=,y,(,x,k,),，即第,k,步计算是精确的前提下，考虑的截断误差,R,k,=,y,(,x,k,+1,),y,k,+1,称为,局部截断误差,。,定义,若某算法的局部截断误差为,O,(,h,p,+1,),，则称该算法有,p,阶精度。,定义,欧拉法的局部截断误差：,欧拉法具有,1,阶精度。,局部截断误差和阶数,2,、隐式欧拉格式,向后差商近似导数,x,0,x,1,),),(,(,),(,1,1,0,1,x,y,x,f,h,y,x,y,+,),1,.,0,(,),(,1,1,1,-,=,+,=,+,+,+,n,k,y,x,f,h,y,y,k,i,i,k,由于未知数,y,k,+1,同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为,隐式,欧拉公式，而前者称为,显式,欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再,迭代,求解。,隐式,欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有,1,阶精度。,二、两步欧拉格式（中点公式）,中心差商近似导数,x,0,x,2,x,1,假设,则可以导出,即两步欧拉格式具有,2,阶精度。,该方法需要,2,个初值,y,0,和,y,1,来启动递推过程，这样的算法称为,双步法,。,三、,梯形公式,显、隐式两种算法的,平均,注：,有局部截断误差 ，,即梯形公式具有,2,阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是,隐式,公式，计算时不得不用到,迭代法,，不易求解。,对欧拉法进行改进，用梯形公式计算右侧积分，即,计算公式,梯形格式算法计算步骤：,先用,(1),式计算出 处 。,再用,(2),式反复进行迭代，得到,计算公式,-(1),-(2),类似地得到,用 控制迭代次数，为允许误差。把满足误差要求的 作为 的近似值。,四、,改进欧拉法（预报,-,校正法）,Step 1,:,先用,显式,欧拉公式作,预报,，算出,),(,1,i,i,i,i,y,x,f,h,y,y,+,=,+,Step 2,:,再将 代入,隐式,梯形公式的右边作,校正,，得到,1,+,i,y,),(,),(,2,1,1,1,+,+,+,+,+,=,i,i,i,i,i,i,y,x,f,y,x,f,h,y,y,它可表示为嵌套形式,表示为平均化形式,此法称为,预报,-,校正法，,是,显式算法,。,注：,可以证明该算法具有,2,阶精度，同时可以看到它是个,单步,递推格式（只迭代一次）,，比隐式梯形公式的迭代求解过程,简单,。,脚标用,i,方 法,显式欧拉法,隐式欧拉法,梯形公式,中点公式,简单,精度低,稳定性最好,精度低,计算量大,精度提高,计算量大,精度提高,显式,多一个初值,可能影响精度,不同方法比较,举例：,x,Euler,法,y,改进的,Euler,法,y,精确解,0,1.000000,1.000000,1.000000,0.1,1.000000,1.095909,1.095445,0.2,1.191818,1.184097,1.183216,0.3,1.277438,1.266201,1.264911,0.4,1.358213,1.343360,1.341641,0.5,1.435133,1.416402,1.414214,0.6,1.508966,1.485956,1.483240,0.7,1.580338,1.552514,1.549193,0.8,1.649783,1.616475,1.612452,0.9,1.717779,1.678166,1.673320,1.0,1.784770,1.737867,1.732051,欧拉方法的几何意义,x,0,x,1,x,4,x,2,x,3,y,1,y,0,y,2,y,3,y,4,7.2,龙格,-,库塔法,一、,泰勒级数法,龙格,库塔,(,Runge-Kut,ta,),法,(,简称为,R-K,方法,),是一类高精度的一步法，这类方法与泰勒级数法有着密 切的关系。,设有初值问题,由 泰勒展开式,从理论上讲，只要解,y(x,),有任意阶导数，泰勒展开方法就可以构造,任意阶,求,y,k+1,公式。但由于计算这些导数是非常复杂的，所以这种方法实际上不能用来解初值问题。,设有初值问题,二、,龙格库塔法的基本思路,等价于：,（积分中值定理）,R-K,方法基本思想：,用 在几个不同点的加权平均值（线性组合）来代替准确的 的值，构造近似公式。再把近似公式与解的泰勒展开 式进行比较，使前面的若干项相同，从而使近似公式达到一定的阶数。,这样龙格库塔法保留了泰勒级数展开法的高阶局部截断误差，又避免了高阶导数的计算。,我们先分析欧拉法 与预估,校正法。,推广,这种单步法称为,Runge-Kutta,方法,简记为,R-K,公式,.,K,i,为某些点上的斜率，或,f(x,y,),在某些点上的值。,三、,二阶龙格,-,库塔法,目标,：,建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的,基本思想,是从,(,x,i,y,i,),点出发，以,某一斜率,沿直线达到,(,x,i,+1,y,i,+1,),点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为,2,阶,。,考察改进的欧拉法，可以将其改写为：,斜率,一定取,K,1,K,2,的,平均值,吗？,步长一定是一个,h,吗？,脚标用,i,首先希望能确定系数,1,、,2,、,p,，使得到的算法格式有,2,阶精度，即在 的前提假设下，使得,Step 1,:,将,K,2,在,(,x,i,y,i,),点作,Taylor,展开,将改进欧拉法推广为：,),(,),(,1,2,1,2,2,1,1,1,p,hK,y,p,h,x,f,K,y,x,f,K,K,K,h,y,y,i,i,i,i,i,i,+,+,=,=,+,+,=,+,l,l,Step 2,:,将,K,2,代入,y,i+1,表达式，得到,Step 3,:,将,y,i,+1,与,y,(,x,i,+1,),在,x,i,点的,泰勒,展开作比较,要求 ，则必须有：,这里有 个未知数，个方程。,3,2,存在,无穷多个解,。所有满足上式的格式统称为,2,阶龙格,-,库塔格式,。,注意到，就是改进的欧拉法。,Q:,为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中,i,(,i,=1,m,),，,i,(,i,=2,m,),和,ij,(,i,=2,m,;,j,=1,i,1,),均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。其解不唯一。,),.,(,.,.,),(,),(,),(,.,1,1,2,2,1,1,2,32,1,31,3,3,1,21,2,2,1,2,2,1,1,1,-,-,+,+,+,+,+,+,=,+,+,+,=,+,+,=,=,+,+,+,+,=,m,m m,m,m,m,i,m,i,i,i,i,i,i,m,m,i,i,hK,hK,hK,y,h,x,f,K,hK,hK,y,h,x,f,K,hK,y,h,x,f,K,y,x,f,K,K,K,K,h,y,y,b,b,b,a,b,b,a,b,a,l,l,l,最常用为四阶,经典龙格,-,库塔法,四阶经典龙格,-,库塔法公式,四、,四阶龙格,-,库塔法,用四个,f,函数值的线性组合得到四阶,龙格,-,库塔法,。,经典龙格,-,库塔法公式具有四阶精度，因此可取大步长。,注：,龙格,-,库塔法,的主要运算在于计算,K,i,的值，即计算,f,的值。,Butcher,于,1965,年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：,7,5,3,可达到的最高精度,6,4,2,每步须算,K,i,的个数,高于四阶时每步计算量增加较多，但精度提高不快，因此使用的比较少。,由于龙格,-,库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好采用,低阶算法,而将步长,h,取小,。,4,收敛性与稳定性,/*,Convergency,and Stability,*/,收敛性,/*,Convergency,*/,定义,若某算法对于任意固定的,x,=,x,i,=,x,0,+,i h,，当,h,0,(,同时,i,),时有,y,i,y,(,x,i,),，则称该算法是,收敛,的。,例：,就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。,解：,该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的,x,=,x,i,=,i h,，有,稳定性,/*,Stability,*/,例：,考察初值问题 在区间,0,0.5,上的解。,分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,精确解,改进欧拉法,欧拉隐式,欧拉显式,节点,x,i,1.0000,2.0000,4.0000,8.0000,1.6000,10,1,3.2000,10,1,1.0000,2.5000,10,1,6.2500,10,2,1.5625,10,2,3.9063,10,3,9.7656,10,4,1.0000,2.5000,6.2500,1.5626,10,1,3.9063,10,1,9.7656,10,1,1.0000,4.9787,10,2,2.4788,10,3,1.2341,10,4,6.1442,10,6,3.0590,10,7,定义,若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计算中都,逐步衰减,，则称该算法是,绝对稳定的,/*,absolutely stable,*/,。,一般分析时为简单起见，只考虑,试验方程,/*test equation*/,常数，可以是复数,当步长取为,h,时，将某算法应用于上式，并假设只在初值产生误差 ，则若此误差以后逐步衰减，就称该算法相对于,绝对稳定