资源描述
根底知识,一、函数的值域的定义,在函数yf(x)中，与自变量x的值对应的y值叫做,，函数值的集合叫做函数的 ,函数值,值域,二、根本初等函数的值域,1ykxb(k0)的值域为 .,2yax2bxc(a0)的值域是,当a0时，值域为 ；,当a0，且,a,1)的值域是,5,y,log,a,x,(,a,0，且,a,1)的值域是,.,6,y,sin,x,，,y,cos,x,，,y,tan,x,的值域分别为,、,、R.,(0，),R,1,1,1,1,三、确定函数的值域的原那么,1当函数yf(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合,2当函数yf(x)的图象给出时，函数的值域是指,3当函数yf(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法那么唯一确定,4当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定,图象在,y,轴上的投影所覆盖的实数,y,的集合?,四、求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式常用的方法有：,1直接法从自变量x的范围出发，推出yf(x)的取值范围，如y(x3)的值域为 ,2配方法配方法是求“二次函数类值域的根本方法，形如F(x)af 2(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法，如y4x2x的值域为 ,2，),(0，),3反函数法利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域形如y (a0)的函数的值域，均可使用反函数法此外，这种类型的函数值域也可使用“别离常数法求解，如：y 的值域为 ,(1,1),4判别式法把函数转化成关于,x,的二次方程,F,(,x,，,y,)0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域形如,y,(,a,1,，,a,2,不同时为零)的函数的值域常用此法求解如,y,的值域为,2,1,5换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域形如,y,ax,b,(,a,、,b,、,c,、,d,均为常数，且,a,0)的函数常用此法求解，如,y,x,的值域为,1，),6不等式法利用根本不等式：ab2 (a、bR)求函数的值域用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等，如yx 的值域为 ,(，44，),7单调性法确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域形如,y,的函数的值域均可使用此法求解，该函数的值域为,),8求导法当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值，如,y,x,3,x,，,x,0,2的值域为,9数形结合法当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域，如,y,的值域为,0，),易错知识,一、值域求解失误,1求ysin2xsinx1的值域结果为，)对吗？,答案：，3,2函数f(x)log2(x2axa)的值域为R，那么实数a的取值范围_,答案：(，40，),二、无视定义域对值域的制约作用而失误,3f(x)2log3x，其中x1,9，当x_时，函数yf(x)2f(x2)有最大值，最大值为_,答案：x313,解析：先求出函数yf(x)2f(x2)的定义域：,1x3.,函数的定义域为1,3，,又yf(x)2f(x2)(2log3x)222log3x(log3x)26log3x6(log3x3)23.,1x3.0log3x1.,那么x1时有最小值6，当x3时有最大值13.,三、区分求函数值域的方法,4求函数,y,x,与,y,x,的值域，虽然形式上接近但采用方法却不同，前者采用的方法为_，值域为_；后者采用的方法为_，值域为_,答案：,换元法(，三角换元法1，,解析：,y,x,，令 ,t,，,x,1,t,2,y,t,2,t,1，,t,0，),y,(，,y,x,，令,x,sin,，,，,y,sin,cos,sin(,)，,y,1，,回归教材,1(教材,P,101,6题改编)函数,y,(,x,R)的值域是(),A(0,1B(0,1),C0,1)D0,1),解析：,1,x,2,1,(0,1,答案：,A,2函数y x2x1(x0)的最小值为(),A.B2C1D3,解析：y (x1)2 ，x0,y 1，应选C.,答案：C,3值域是(0，)的函数是(),A,y,x,2,x,1 B,y,(),1,x,C,y,3 1 D,y,|log,2,x,2,|,解析：,A中,y,，)，C中,y,1，D中,y,0，故应选B.,答案：,B,5(2021重庆)函数f(x)的最大值为(),A.B.C.D1,解析：将解析式整理，得y ，利用均值不等式求得f(x)的最大值为 .,答案：B,4(教材,P,102,13题改编)函数,y,的值域为(),A(0,1 B0,1),C(0,1)D0,1,答案：,B,【例1】求以下函数的值域,(1)y4 ；,(2)y2x ；,(3)yx .,解析(1)(配方法)：由32xx20，得1x3.,y4 ，,当x1时，ymin422.,当x1或3时，ymax4.,函数值域为2,4,(2)(换元法)：令t (t0)，那么x,yt2t1(t )2 ，,当t 即x 时，ymax ，无最小值,函数值域为(，,3)(三角换元法)函数的定义域是x|1x1,设xsint，t ，那么yx 化为ysintcost，y ,t t ，,1sin(t )，y1.,原来的函数的值域是 ，1,总结评述,对于形如,y,ax,2,bx,c,(,a,0)或求二次复合函数的值域可用配方法,对于形如,y,ax,b,的函数令,t,，,x,且,t,0，使之变形为二次函数，再利用配方，对于含 的结构的函数，可利用三角代换，令,x,a,cos,，,0，,，或令,x,a,sin,，,，,对形如,y,等一些结构简单的函数，可通过直接法,求以下函数的值域：,(1)y()|x|；,(2)ysin2x4cosx1；,(3)y2x5 .,解析：,(1)|,x,|0,0(),|,x,|,1，,值域为(0,1,(2),y,sin,2,x,4cos,x,1cos,2,x,4cos,x,2,(cos,x,2),2,6由1,cos,x,1.,3,cos,x,2,1,1,(cos,x,2),2,9,3,(cos,x,2),2,6,5,3,y,5，,值域为3,5,【例2】求以下函数的值域：,(1)y ；(2)y .,解析(1)解法一：(反函数法)由y 解出x，得x ，2y10，函数的值域为y|y ，且yR.,解法二：(别离常数法)y ，,y ，故函数的值域为y|y 且yR,(2)(判别式法)：由,y,得,yx,2,3,x,4,y,0，当,y,0时，,x,0，当,y,0时，由0得,y,，函数定义域为,R,，,函数,y,的值域为 .,总结评述,反函数的定义域即为原函数的值域，形如,y,(,a,0)的函数值域可用反函数法，也可用配凑法,把函数转化成关于,x,的二次方程,F,(,x,，,y,)0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域，这种方法叫判别式法形如,y,(,a,1,，,a,2,不同时为0)的函数的值域常用此法此类问题分为两大类：一类为分子和分母没有公因式一般可使用判别式,0解得，但要注意判别式中二次项系数为零和不为零两种情况；另一类为分子和分母中有公因式，约去公因式回到方法去解决,求以下函数的值域,解析：(1)解法1：(化为真分式)：,解法2：(利用反函数法)：,由,y,得2,x,0，所以,y,(1,1),(2)由,y,变形得(,y,1),x,2,(,y,1),x,y,30,当,y,1时，此方程无解；,当,y,1时，,x,R,(,y,1),2,4(,y,1)(,y,3),0,解得1,y,，又,y,1，1,y,.,故函数的值域为,y,|1,y,.,【例3】(2007重庆模拟)：f(x)3xx2|x|(xR.,(1)求f(x)的最大值；,(2)是否存在实数a，b使f(x)在区间a，b上的取值范围为 ,解析,(1),f,(,x,)3,x,x,2,|,x,|,当,x,0时，,f,(,x,)33,x,2,3(1,x,)(1,x,)，所以当,x,(0,1)，,f,(,x,)0，所以,x,(0,1)时,f,(,x,)递增当,x,(1，)，,f,(,x,)0，所以,x,(1，)时,f,(,x,)递减,当,x,0，所以,x,(，0)时,f,(,x,)递增,因为函数,f,(,x,)在,x,0处连续，所以,x,(，1)时,f,(,x,)递增，,x,(1，)时,f,(,x,)递减,所以,f,(,x,),max,f,(1)2.,(2)由,ab,0.,0,a,b,时，由(1)可知：,x,(0，)时，,f,(,x,),max,f,(1)2，所以 2,a,1，,即1,a,b,，由(1)可知：,x,a,，,b,时,f,(,x,)递减，,所以 即,a,，,b,是方程,f,(,x,)的两根,3,x,x,3,x,4,3,x,2,20,x,1,1；,x,2,，所以,a,1，,b,.,a,b,0时，由(1)可知：,x,(，0)时,f,(,x,)递增，,所以,相减得3,a,2,ab,b,2,；相加得3,a,2,ab,b,2,，所以,ab,0，无解,综合，存在a1，b 使f(x)在区间a，b上的取值范围为 ,总结评述此题考查了导数及其运用，以及函数值域的讨论,如下图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器当这个正六棱柱容器的底面边长为_时，其容积最大,解析：本小题主要考查正六棱柱的概念与性质，以及函数的相关知识，考查考生运用导数知识解决实际问题的能力,设被切去的全等四边形的一边为x，如下图，那么正六棱柱的底面边长为12x，高为 x，,所以正六棱柱的体积,V,6 (12,x,),2,x,(0,x,0，,V,是增函数；,当,x,(，)时，,V,0，,V,是减函数,当,x,时，,V,有最大值，此时正六棱柱的底面边长为 .,答案：,1求值域无程序化方法，应在熟练掌握几种根本方法的根底上，对具体的题目作具体的分析，选择最优的方法解决,2求函数的值域不但要重视对应法那么的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用,3遇到含有字母系数或参数区间的一类求值域问题时，应对字母进行合理的分类讨论,
展开阅读全文