根的判别式 (4)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.2,一元二次方程的解法根的判别式,知识回顾,1.,一元二次方程的求根公是什么？,一般地，对于一元二次方程,ax,2,+bx+c=0,（,a0,），当,b,2,-4ac0,时，它的根是,2.,用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？,用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，,进而确定,a,、,b,、,c,的值，再求出,b,2,-4ac,的值，,当,b,2,-4ac0,的前提下，再代入公式求解；,当,b,2,-4ac,0,时，方程无实数 解,(,根,),知识回顾,3.,用公式法解下列方程：,x,2,x,1=0,x,2,2,2,x,2,2x,1=0,x,3=0,观察上面解一元二次方程的过程，一元二次,方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、,一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关,系不解方程得出方程的解的情况呢？,尝试,：,不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？,x,2,2x,8=0,x,2,=4x,4,x,2,3x=,3,（,3,）没有实数根,答案：（,1,）有两个不相等的实数根；,（,2,）有两个相等的实数根；,你能得出什么结论？,可以发现,b,2,4,ac,的符号,决定着方程的解。,概括总结,，,x,2,=2,由此可以发现一元二次方程,ax,2,bx,c=,0,（,a,0,）的根的情况可由,b,2,4,ac,来判定,当,b,2,4,ac,0,时，方程有,两个不相等的实数根,当,b,2,4,ac=,0,时，方程有,两个相等的实数根,当,b,2,4,ac,0,时，方程,没有实数根,我们把,b,2,4,ac,叫做一元二次方程,ax,2,bx,c=,0,（,a,0,）,的根的判别式。,若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到,判别式的值的符号呢？,当一元二次方程有两个不相等的实数根时，,b,2,4,ac,0,当一元二次方程有两个相等的实数根时，,b,2,4,ac=,0,当一元二次方程没有实数根时，,b,2,4,ac,0,概念巩固,1.,方程,3x,2,+2=4x,的判别式,b,2,-4ac=,，,所以方程的根的情况是,.,2.,下列方程中，没有实数根的方程是（）,A.x,2,=9 B.4x,2,=3(4x-1),C.x(x+1)=1 D.2y,2,+6y+7=0,-8,方程无实数根,D,3.,方程,ax,2,+bx+c=0(a0),有实数根，那么总成立的式,子是（）,A.b,2,-4ac,0 B.b,2,-4ac,0,C.b,2,-4ac0 D.b,2,-4ac0,D,典型例题,例,1,不解方程，判断下列方程根的情况：,（,1,）,-x,2,+x-6=0,（,2,）,x,2,+4x=2,（,3,）,4x,2,+1=-3x,（,4,）,x,2,-2mx+4,（,m-1,）,=0,解,（,1,）,b,2,-4ac=24-4,（,-1,）,（,-6,）,=0,该方程有两个相等的实数根,（,2,）移项，得,x2+4x-2=0,b2-4ac=16-41,（,-2,）,=16-,（,-8,）,=16+8=24,0,该方程有两个不相等的实数根,典型例题,例,1,不解方程，判断下列方程根的情况：,（,3,）,4x,2,+1=-3x,（,4,）,x,2,-2mx+4,（,m-1,）,=0,解（,3,）移项，得,4x,2,+3x+1=0,b,2,-4ac=9-441=9-16=-7,0,该方程没有实数根,（,4,）,b2-4ac=,（,2m,）,2-414,（,m-1,）,=4m,2,-16,（,m-1,）,=4m,2,-16m+16,=,（,2m-4,）,2,0,该方程有两个实数根,典型例题,例,2,：,m,为任意实数，试说明关于,x,的方程,x,2,-,（,m-1,）,x-3,（,m+3,）,=0,恒有两个不相等,的实数根。,解：,不论,m,取任何实数，总有（,m+5,）,2,0,b,2,-4ac=,（,m+5,）,2,+1212,0,不论,m,取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根,典型例题,例,3,：,m,为何值时，关于,x,的一元二次方程,2x,2,-,（,4m+1,）,x+2m2-1=0,：,（,1,）有两个不相等的实数根？,（,2,）有两个相等的实数根？,（,3,）没有实数根？,解：,a=2,，,b=-,（,4m+1,），,c=2m,2,-1,b,2,-4ac=-,（,4m+1,）,2,-42,（,2m,2,-1,）,=8m+9,（,1,）若方程有两个不相等的实数根，则,b,2,-4a,c,0,，,即,8m+9,0 m,（,2,）若方程有两个相等的实数根，则,b,2,-4ac=0,即,8m+9=0 m=,（,3,）若方程没有实数根，则,b,2,-4ac,0,即,8m+9,0 m,当,m,时，方程有两个不相等的实数根；,当,m=,时，,方程有两个相等的实数根；当,m,时，方程没有实数根,练一练,例,4,：已知关于,x,的方程,k,x,2,（,2k,1,）,x,k,3=0,有两个不相等的实数,根，求,k,的取值范围。,解：方程有两个不相等的实数根,即,k,（,2k+1,）,2,-4k,（,k+3,）,0,4k,2,+4k+1-4k,2,-12k,0,-8k+1,0,练一练,1.,不解方程，判断方程根的情况：,（,1,）,x,2,+3x-1=0;,(2)x,2,-6x+9=0;,(3)2y,2,-3y+4=0,(4)x,2,+5=x,练一练,2.k,取什么值时，方程,x,2,-kx+4=0,有两个相等的,实数根？求这时方程的根。,3.,已知,a,、,b,、,c,分别是三角形的三边，则关于,x,的一,元二次方程（,a+b,）,x,2,+2cx+,（,a+b,）,=0,的根的情况,是（）,A,、没有实数根,B,、可能有且仅有一个实数根,C,、有两个相等的实数根,D,、有两个不相等的实数根。,归纳总结,一元二次方程的根的情况与系数的关系？,b,2,-4ac,叫做一元二次方程根的判别式。利用根的,判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程,的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知,b,2,-4ac,的符号，进而得出方程中未知字母的取值,情况。,