北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》导数应用小结与复习课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,北师大版高中数学选修,2-2,第三章,导数应用,导数应用小结与复习,北师大版高中数学选修2-2第三章导数应用导数应用小结与复,知识与技能,:,1.,利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间,a,，,b,上的最大（小）值；,2,利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。,过程与方法,:,1.,通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间,a,，,b,上的最大（小）值，培养学生的数学思维能力；,2.,通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数学建模能力。,情感态度、价值观：,逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯,教学目标：,知识与技能:1.利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小,一、知识点,1,导数应用的知识网络结构图,：,一、知识点1导数应用的知识网络结构图：,二、重点导析：,（一）、曲线的切线及函数的单调性,为减函数。,1.,设函数,在某个区间内可导，若,，,则,在该区间上是增函数；若,，则,二、重点导析：（一）、曲线的切线及函数的单调性 为减函数。1,2.,求可导函数单调区间的一般步骤和方法：,(2),求导数,(3),解不等式,;,或解不等式,.,(1),求 的定义域,D,(4),与定义域求交集,(5),写出单调区间,2.求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(2)求导数(3),题型一：利用导数求切线斜率、瞬时速度,解法提示：在某一点切线的斜率或在某一时刻的瞬时速度就是该点或该时刻对应的导数,.,例,1,求垂直于直线,，,且与曲线,相切的直线方程,.,题型一：利用导数求切线斜率、瞬时速度 解法提示：在某,题型二：求函数的单调区间,.,分析：确定函数的单调区间,即在其定义域区间内确定其导数为正值与负值的区间,.,例,2,试确定函数,的单调区间,.,题型二：求函数的单调区间.分析：确定函数的单调区间,（二）、可导函数的极值,1.,极值的概念：,设函数,在点,附近有定义，且对,附近的所有的点,都有,（或,则称,为函数的一个极大（小）值，称,为极大（小）,值点。,（二）、可导函数的极值 1.极值的概念：设函数 在点 附,求导数,求方程,的根；,2.,求可导函数,极值的步骤：,检验,在方程,如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数,的根的左、右的符号,，,在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数,在这个根处取得极大值,.,求导数 求方程 的根；2.求可导函数 极值的步,题型三：求函数的极值与最值,分析：此题属于逆向思维，但仍可根据求极值的步骤来求,.,但要注意极值点与导数之间的关系（极值点为,的根）,.,例,3,设函数,在,或,处有极值且,.,求,并求其极值,.,题型三：求函数的极值与最值分析：此题属于逆向思维，但仍可根,（三）、函数的最大值与最小值,1.,设,是定义在区间,a,，,b,上的函数，,在,（,a,，,b,）内有导数，求函数,在,a,，,b,上的最大值与,最小值，可分两步进行：,求,在（,a,，,b,）内的极值；,将,在各极值点的极值与,比较，,其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值,.,2.,若函数,在,a,，,b,上单调递增，则,为函数的,的最小值，,为函数的最大值；若函数,在,a,，,b,上单调递减，则,为函数的最大值，,最小值,.,为函数的,（三）、函数的最大值与最小值 1.设 是定义在区间a，b,例 函数,在,0,，,3,上的最值,.,-15,5,y,0,Y,3,(2,3),2,(0,2),0,X,例 函数在0，3上的最值.-155y0Y3(,题型四：利用求导解应用题,例,1,如图,有甲、乙两人，甲位于乙的正东,100km,处开始骑自行车以每小时,20km,的速度向正西方向前进，与此同时，乙以每小时,10km,的速度向正北方向跑步前进，问经过多少时间甲、乙相距最近？,B,A,乙,甲,如图,题型四：利用求导解应用题 例1如图,有甲、乙两人，甲,例,2:,如图,铁路线上,AB,段长,100km,工厂,C,到铁路的,距离,CA=20km.,现在要,在,AB,上某一处,D,向,C,修,一条公路,.,已知铁路每吨,千米与公路每吨千米的运费之比为,3:5.,为了使原料,从供应站,B,运到工厂,C,的运费最省,D,应修在何处,?,B D A,C,解,:,设,DA=xkm,那么,DB=(100-x)km,CD=,km.,又设铁路上每吨千米的运费为,3t,元,则公路上每吨千米的运费为,5t,元,.,这样,每吨原料从供应站,B,运到工厂,C,的总运费为,例2:如图,铁路线上AB段长B,令,在 的范围内有,唯一解,x=15.,所以,当,x=15(km),即,D,点选在距,A,点,15,千米时,总运费最省,.,注,:,可以进一步讨论,当,AB,的距离大于,15,千米时,要找的,最优点总在距,A,点,15,千米的,D,点处,;,当,AB,之间的距离,不超过,15,千米时,所选,D,点与,B,点重合,.,练习,:,已知圆锥的底面半径为,R,高为,H,求内接于这个圆,锥体并且体积最大的圆柱体的高,h.,答,:,设圆柱底面半径为,r,可得,r=R(H-h)/H.,易得当,h=H/3,时,圆柱体的体积最大,.,2.,与数学中其它分支的结合与应用,.,令,例,3:,在边长为,60cm,的正,方形铁皮的四角切去相等,的正方形,再把它的边沿虚,线折起,(,如图,),做成一个无,盖的方底箱子,箱底边长为,多少时,箱子的容积最大,?,最大容积是多少,?,解,:,设箱底边长为,x,则箱高,h=(60-x)/2.,箱子容积,V(x)=x,2,h=(60 x,2,-x,3,)/2(0 x60).,令,解得,x=0(,舍去,),x=40.,且,V(40)=,16000.,由题意可知,当,x,过小,(,接近,0),或过大,(,接近,60),时,箱子的容积很小,因此,16000,是最大值,.,答,:,当,x=40cm,时,箱子容积最大,最大容积是,16000cm,3,.,例3:在边长为60cm的正 解:设箱底边长为x,则箱高h=(,类题,:,圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径,应怎样选取,才能使所用的材料最省,?,解,:,设圆柱的高为,h,底半径为,r,则表面积,S=2,rh+2,r,2.,由,V=,r,2,h,得,则,令,解得,从而,即,h=2r.,由于,S(r),只有一个极值,所以它是最小值,.,答,:,当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省,.,类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径解:设圆柱,x,y,例,4:,如图,在二次函数,f(x)=,4x-x,2,的图象与,x,轴所,围成的图形中有一个,内接矩形,ABCD,求这,个矩形的最大面积,.,解,:,设,B(x,0)(0 x2),则,A(x,4x-x,2,).,从而,|AB|=4x-x,2,|BC|=2(2-x).,故矩形,ABCD,的面积,为,:S(x)=|AB|BC|=2x,3,-12x,2,+16x(0 x0,得,x=1.,而,0 x1,时,所以,x=1,是,f(x),的极小值点,.,所以当,x=1,时,f(x),取最小值,f(1)=1.,从而当,x0,时,f(x),1,恒成立,即,:,成立,.,例5:证明不等式:证:设则令 ,结合x,例,6:,已知函数,f(x)=ax,3,+bx,2,曲线,y=f(x),过点,P(-1,2),且在点,P,处的切线恰好与直线,x-3y=0,垂直,.,(1),求,a,、,b,的值；,(2),若,f(x),在区间,m,m+1,上单调递增,求,m,的取值,范围,.,解,:(1),由题意得,:,(2),解得,x0,或,x0),的极大值为,6,极小,值为,2.,(1),试确定常数,a,、,b,的值,;,(2),求函数的单调递增区间,.,答案,:(1)a=1,b=4.,(2),单调递增区间为,(-,-1),和,(1,+,).,练习1:已知函数f(x)=x3-3ax+b(a0)的极大值,练习,2:,已知函数,f(x)=x,3,+ax,2,+bx+c,在,x=-2/3,与,x=1,处都,取得极值,.,(1),求,a,、,b,的值,;,(2),若,x,-1,2,时,不等式,f(x)c,2,恒成立,求,c,的取,值范围,.,答案,:(1)a=-1/2,b=-2.,(2),利用,f(x),max,c,2,解得,c2.,练习,3:,若函数,f(x)=x,3,+bx,2,+cx,在,(-,0,及,2,+,),上都是,增函数,而在,(0,2),上是减函数,求此函数在,-1,4,上,的值域,.,答,:,由已知得 可求得,c=0,b=-3,从而,f(x)=,x,3,-3x,2,.,又,f(-1)=f(2)=-4,f(0)=0,f(4)=16,所以函数,f(x),在,-1,4,上的,值域是,-4,16.,练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2/,三、难点突破：,1.,关于单调性的定义,条件是充分非必要的,.,若,在（,a,，,b,）内，,（或,），（其中有有限个,x,使,），,则,在（,a,，,b,）内仍是增函数（或减,函数）。如：,，,有,（,其中,），,但,在（,-,+,）内递增；,2.,注意严格区分极值和最值的概念,.,极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题。,三、难点突破：1.关于单调性的定义,条件是充分非必要的.,四、课堂内容小结：,(1),本课知识要点；,(2),例题涉及的知识点、难点；,(3),例题练习题解答所重用的工具,五、布置作业：,课本复习参考题三,A,组第,1(3),、（,5,）、,2,（,2,）、,3,六、教学反思：,四、课堂内容小结：(1)本课知识要点；(2)例题涉及的知识点,