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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第六节 椭圆,根底梳理,1.椭圆的定义,（1）平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件:,到两个定点 的距离的和等于常数2a；,2a .,(2)上述椭圆的焦点是 ，椭圆的焦距是,2.椭圆的标准方程和几何性质,标准方程,图形,性质,范围,对称性,对称轴：坐标轴 对称中心：原点,顶点,轴,长轴 的长为,2a,短轴 的长为2b,焦距,离心率,a,b,c的关系,典例分析,题型一 椭圆的定义及其标准方程,【例1】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别,为 和 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.,分析,方法一：用待定系数法，设出椭圆方程的两种形式后，代入求解.方法二：先由椭圆定义，确定半长轴a的大小，再在直角三角形中，利用勾股定理求c,然后求b.,解,方法一：设椭圆的标准方程是 (ab0)或,(ab0),两个焦点分别为 ，则由题意知,2a=,a=.,在方程 中,令x=c,得y=.,在方程 中,令y=c,得x=.,依题意知 .,即椭圆的方程为 或 .,方法二：设椭圆的两个焦点分别为 ,则,由椭圆的定义，知2a=,即a=.,由 知，垂直于长轴.,故在Rt 中，,，于是 .,又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程,为 或 .,学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接,设成 (m0,n0).,2过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为,举一反三,1.点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.,解析：设所求椭圆的方程为,那么由条件得 a=4，c=2，=12.,所求椭圆的方程为,题型二椭圆的几何性质,【例2】椭圆 (ab0)的长、短轴端点分别为A、B，从,此椭圆上一点M在x轴上方向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量.,1求椭圆的离心率e；,2设Q是椭圆上任意一点，分别是左、右焦点，求 的取值范围.,分析 由AB与OM是共线向量可知ABOM，从而可得关于a、b、c的等量关系，进而求得离心率e；假设求 的范围，即需求cos 的范围，用余弦定理即可.,解 1 -c,0，那么 .,OM与AB是共线向量，,2),学后反思 求解与几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.当涉及到顶点、焦点、准线、长轴、短轴等椭圆的根本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系.,举一反三,已知 是椭圆的两个焦点，,P,为椭圆上一点，,=60.,求椭圆离心率的取值范围,.,解析 设椭圆方程为 (ab0)，=m,=n.,在 中，由余弦定理可知，,又 (当且仅当m=n时取等号，,即e ，,e的取值范围是 ,1).,题型三 直线与椭圆的位置关系,【例3】(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.,（1）求椭圆C的标准方程；,（2）若直线:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标.,分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.2直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系.,解,（1）根据题意设椭圆的标准方程为 (ab0),由已知得a+c=3,a-c=1,.1,a=2,c=1,=3.,椭圆的标准方程为 .3,(2)设 ,y=kx+m，,联立,得 ，5,则由题意,得,即 ，,，,即 7,以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),即 ，,，解得m=-2k或m=-,且均满足 10,当m=-2k时,的方程为y=k(x-2),直线过定点2，0,与矛盾；,当m=-时,的方程为y=k(x-),直线过定点(,0).,所以直线 过定点，定点坐标为(,0).12,学后反思 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况.,2消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的根底.,举一反三,3.若直线 过圆 +4x-2y=0的圆心M,交椭圆C：于A,B两,点，且A,B关于点M对称，求直线 的方程.,解析,设A,B的坐标分别为,已知圆的方程为 ,所以圆心M的坐标为（-2，1），从,而可设直线 的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程,得,.,因为A,B关于点M对称，,所以 ,解得k=,所以直线 的方程为y=(x+2)+1,即8x-9y+25=0(经检验，所求直线方,程符合题意).,题型四 椭圆的实际应用,【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r,方案将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域.,分析,建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式.,解,依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如图），则半椭,圆方程为 (y0),解得 (0 xr).,其定义域为x0 xAB=2.由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长,轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y,轴，建立直角坐标系，那么点C的轨迹方程为 (y0),易知点D也,在此椭圆上，要使 ACBD面积最大，那么C、D为此椭圆短轴的两端点，此,时，面积,易错警示,【例】若椭圆 的离心率e=,则k的值为.,错解,由已知 =k+8,=9,又e=，,，解得k=4.,错解分析 无视了椭圆的焦点位置不确定，焦点也有可能在y轴上的情况.,正解,（1）若焦点在x轴上，即k+89时，=k+8,=9,解得k=4.,(2)若焦点在y轴上，即0k+8b0).,由 消去y得 .,设直线与椭圆相交于 两点，,那么 是上述方程的根，且有0，,即 恒成立.,所求椭圆方程为,12.2021广州模拟椭圆E的两个焦点分别为-1，0、1，0，点C1,在椭圆E上.,1求椭圆E的方程；,2假设点P在椭圆E上，且满足 ，求实数t的取值范围.,解析：1方法一：依题意，设椭圆E的方程为 (ab,0)，由半焦距c=1,=1.,点C1,在椭圆E上，那么 .,由、，得 ，椭圆E的方程 .,方法二：依题意，设椭圆E的方程为 (ab0),点C(1，)在椭圆E上，,，即a=2.,由半焦距c=1,.,椭圆E的方程为 .,2设 ，由 ,得,即 .,点P在椭圆E上，.,由得 ，代入，并整理得 .,0 4,04(t-2)4,2t3.,
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