二项式系数的性质35041

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,美 丽 的 校 园,新余四中高二数学组 彭晨艳,10.4,二 项 式 定 理,二项式系数的性质,1,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3,2,4,4,6,5,5,10,10,复习回顾,:,二项式定理及展开式,:,n,n,n,r,r,n,r,n,n,n,n,n,n,n,n,b,a,C,b,a,C,b,a,C,b,a,C,b,a,C,b,a,0,2,2,2,1,1,1,0,0,+,+,+,+,+,+,=,+,-,-,-,L,L,）,（,二项式系数,通 项,1,3,(a+b),1,(a+b),2,(a+b),3,(a+b),4,(a+b),5,(a+b),6,二项式系数的性质,二项式系数表,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,1,6,15,20,15,6,1,详解九章算法,记载的表,杨辉,三角,杨辉,以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家,杨辉,1261,年所著的,详解九章算法,一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。,在,详解九章算法,一书里，还说明了表里“一”以外的,每一个数都等于它肩上两个数的和,，杨辉指出这个方法出于,释锁,算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元,11,世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于,11,世纪。,在欧洲，这个表被认为是法国数学家,帕斯卡,（,1623-1662,）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲,早五百年左右,，,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。,a).,表中每行两端都是,1,。,b).,除,1,外的每一个数都等,于它肩上两个数的和,。,4+6=10,2+1=3,例如：,c,r,n,c,r-,1,n,+,c,r,n+,1,=,当,n,不大时，可用该表来求二项式系数,。,C,2,3,C,2,2,C,1,2,+,=,=3,C,2,5,C,2,4,C,1,4,+,=,=10,因为：,二项式系数的性质,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,1,6,15,20,15,6,1,2,1,3,4,6,10,第,1,行,第,2,行,第,6,行,-,第,5,行,-,第,4,行,第,3,行,-,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,1,5,10,10,5,1,1,6,15,20,15,6,1,二项式系数的性质,先增后减,对称,函数定义：,如果,A,、,B,都是非空数集,，,那,A,到,B,的映射,f,：,AB,就叫做,A,到,B,的函数,。,可看成是,集合,0,，,1,，,，,n,到,二项式系数的集合,的映射。,对于二项式系数,，,r,与 之间也有对应关系，,即：,r 0 1 2,r n,二项式系数与函数,从映射、函数的观点看，,二项式系数,可以看作是一个定义域为,0,，,1,，,2,，,，,n,的函数当自变量从小到大依次取值时对应的,一列函数值。,即：,r,是自变量,，,r,自变量,二项式系数,是函数值，,组合数公式,就是相应函数的解析式。,1,2,3,二,项,式,函数值,二项式系数与函数,当,n=6,时，二项式系数 （,0,r,6,）用图象表示：,7,个,孤立的点,1,3,n,1,2,3,2,2,n,O,r,f,(r),6,3,6,14,20,与首末两端“等距离”,的两个二项式系数相等,1,：对称性,2,：增减性与最大,值,先增后减,关于,r=3,对称,r=3,时取得最大值,f（r）,n,为奇数；,如,n=7,f（r）,r,n,O,6,15,20,1,3,n,为偶数；,如,n=6,20,10,30,35,O,n,7,4,3,关于,r=n/2,对称,r=3,和,r=4,时取得最大值,二项式系数的性质,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,性质,1,：对称性,性质,2,：增减性与最大,值,先增后减,当,n,是偶数时，中间的一项 的二项式系数 取得 最大值 ；,当,n,是奇数时，中间的两项 二项式系数 和,相等，且 同时取得最大值。,即,即,和,当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。,当,n,是,偶数,时，,中间的一项,取得,最大,时 ；,当,n,是,奇数,时，,中间的两项,，相等，且,同时,取得,最大,值。,由于,C,k,n,=,n,(,n-,1)(,n-2,)(,n-3,),(n-k+1),k,(k-1),=,C,k-,1,n,k,n k+1,C,k-,1,n,k,n k+1,C,k,n,所以,相对于,的,增减情况由,决定,由于,k,n k+1,1,k,n+1,2,因而,2.,增减性与最大值,性质,3,：各二项式系数的和,二项式系数的性质,2,n,+,令,x=1,；,赋值法,令,x=-1,；,0,+,+,0,n,C,C,2,n,-,+,+,1,n,C,3,n,C,),(,(,),0,=,+,+,0,n,C,C,2,n,+,+,1,n,C,3,n,C,=,也就是说,(1+x),n,的展开式中的各个二项式系数的和为,，,且奇数项的二项式系数和等于偶数的二项式系数和,2,n,1,、在,(a,b),20,展开式中，与第五项二项式系数相同的项是,().,C,课堂练习,:,A.,第,6,项,B.,第,7,项,C.,第,6,项和第,7,项,D.,第,5,项和第,7,项,C,A.,第,15,项,B.,第,16,项,C.,第,17,项,D.,第,18,项,2,、在,(a,b),11,展开式中，二项式系数最大的项,().,4,，化简,+,+,=,3,，已知 展开式中只有第,10,项二项式系数最大，则,n=_,。,18,例,1,、证明 的展开式中，奇数项的二项式系数的和,等于偶数项的二项式系数的和。,b,a,n,),(,+,证明,：,1,a,1,0,-,C,C,n,+,r,n,a,n,1,-,b,b,a,n,+,+,+,+,=,b,C,C,n,n,r,n,r,n,n,b,a,n,),(,+,在展开式,中,1,+,=,1,n,),(,-,C,n,n,n,),(,-,1,0,n,C,1,n,C,C,2,n,3,n,C,-,-,+,+,b=,-1,，,令,a=,1,，,则得,+,+,0,n,C,C,2,n,-,+,+,1,n,C,3,n,C,),(,(,),0,=,+,+,0,n,C,C,2,n,+,+,1,n,C,3,n,C,=,就是,即在,b,a,n,),(,+,的展开式中，奇数项的二项式系数的和,等于偶数项系数的和。证毕。,上述证明过程中用到了什么方法？,赋值法,例题讲解,变式练习,：,+,7,2,1,0,),(,+,+,+,=,-,7,2,7,2,1,x,a,x,a,x,a,a,x,已知,则,=,+,+,+,6,4,2,0,a,a,a,a,7,1,a,=,+,+,+,2,a,a,7,=,+,+,+,5,3,1,a,a,a,a,简解,:,令,x=,1,则,则,令,x=-,1,7,a,+,+,5,a,6,a,1,0,2,+,+,a,a,a,+,=,+,+,3,a,4,a,(,=,),-,7,2,1,1,-1,7,a,=,a,1,a,0,+,a,2,+,-,+,5,a,3,a,6,a,4,a,-,-,-,),+,(,7,2,1,1,=,3,7,1,2,1,由 得,7,1,a,=,+,+,+,2,a,a,-2,1,2,-,),(,2,由 得,1,2,+,),(,2,由 得,-2,-1094,1093,7,=,+,+,+,5,3,1,a,a,a,a,-1094,=,+,+,+,6,4,2,0,a,a,a,a,1093,(,x=,0,时,a,0,=,1,),1,2,3,n,1,2,3,注意：,求解二项式系数和时，,灵活运用赋值法可以使问,题简单化。通常选取赋值,时取,1,，,1,，,0,。,小结,:,（,2,）数学思想：函数思想,a,图象、图表；,b,单调性；,c,最值。,（,3,）数学方法：,赋值法,（,1,）二项式系数的三个性质,对称性,增减性与最大值,各二项式系数和,作业：,习题,10.4,9,10,。,1,2,3,n,1,2,3,谢谢！祝大家,开心，进步！,