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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一章,矩 阵,第四章,向量的内积与二次型,第六章,Matlab,软件的应用,第二章,向量与线性方程组,第五章,线性空间,第三章,矩阵的特征值与特征向量,第一章,矩阵与线性方程组,1,矩阵及其运算,3,行列式及其性质,2,矩阵的初等变换与逆矩阵的求法,第一节,矩阵及其运算,1.1.1,线性方程组及其矩阵表示,1.1.2,矩阵的基本运算及性质,1.1.3,逆矩阵,1.1.1,线性方程组及其矩阵表示,m,个方程，,n,个未知数,定义,称为,m,行,n,列矩阵,，简称,其中诸,叫做该矩阵的元素，矩阵可以简记,矩阵，,i,j,分别称为矩阵,A,的行标和列标。,行矩阵,列矩阵,元素全是零的矩阵叫做,零矩阵,，记为,O,矩阵的行数和列数相等，称之为,方阵,。,把,n,行,n,列矩阵称为,n,阶方阵,或,n,阶矩阵,，简称,n,阶阵,几种特殊形式的矩阵,称为对角矩阵,n,阶,单位矩阵,，简记作,E.,三角形矩阵有两种，分别称,或,为,上三角形矩阵,或,下三角形矩阵,。,EA=AE=A,数量矩阵,两个矩阵行数相同，列数也相同时，称为,同型矩阵,定义,那么就称矩阵,A,与矩阵,B,相等，记作,A=B,1.1.2,矩阵的基本运算及性质,一 矩阵的加减法,定义,那么矩阵,A,与矩阵,B,的和记作,A+B,规定为,对应元素相加,例,设,则,矩阵的加法满足下列运算规律,（,i,）,A+B=B+A,(,交换律）,（,ii),(A+B)+C=A+(B+C),(,结合律,）,(iii),A+O=O+A=A,-A,称为矩阵,A,的负矩阵，显然有,A+(-A)=(-A)+A=O,矩阵的减法：,A-B=A+(-B),对应元素相减,二 矩阵的数乘运算,定义,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,（,6,）,并记作,C=AB,矩阵,的,乘法的：,矩阵乘法的规则：,（,1,）,两矩阵相乘时，前矩阵（居左）每一行（如第,I,行）的各元素与后矩阵（居右）每一列（如第,j,列）中顺次对应的各元素相乘再相加，从而得到乘积矩阵（第,i,行第,j,列）的元素。,(2),为保证规则（,1,），前矩阵的列数应与后矩阵的的行数相等，否则两矩阵不能相乘。,（,3,）,乘积矩阵的行数与前矩阵相同，乘积矩阵的列数与后矩阵相同。,A,m,=,n,n,p,m,p,B,C,矩阵乘法的法则,：,乘积矩阵,AB=C,的第,i,行第,j,列元素,等于前矩阵,A,的第,i,行的各元素与后矩阵,B,的第,j,列中顺次对应的各个元素的乘积之和。,例,设,求,AB,矩阵与矩阵相乘不满足交换律，,AB,有意义，但,BA,不一定有意义,例,设,AB,求,AB,和,BA,BA,AB,和,BA,都意义，但不同型,例,求,AB,和,BA,AB,BA,(1)AB,与,BA,都有意义，且同型，但,AB,与,BA,不相等,(2),两个非零矩阵相乘可能是零矩阵,例,求,AB,和,BA,AB,BA,=,AB,如果同阶方阵,A,和,B,满足,AB=BA,则称,A,与,B,可交换,矩阵的乘法虽不满足交换律，但仍满足下列结合律和分配律,(i)(AB)C=A(BC),(ii),(iii),矩阵的幂,设,A,是,n,阶方阵，,k,为正整数，则,表示,k,个,A,连乘,如,显然，只有方阵的幂才有意义,转置矩阵,把矩阵,A,的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做的,A,转置矩阵,，记作,行列对调,例,运算规律,对称矩阵,如果,方阵,A,满足,就称,A,为,对称矩阵,例如,方阵,A,为对称矩阵,矩阵,A,中关于主对角线对称的每一对元素都相等,设,A,为任意矩阵，则,恒为方阵，且都是对称矩阵,设,B,为任意方阵，则,恒为对称矩阵,1.1.3,逆矩阵,AB,BA,称,B,为,A,的逆矩阵,定义,设,A,为,n,阶方阵。,AB=BA=E,就称为,A,可逆矩阵，,如果存在,n,阶方阵,B,，使得,并称,B,为,A,的逆矩阵（简称逆,),记作,定理,如果,A,是可逆矩阵，则,A,的逆矩阵唯一,证明,设,B,和,C,都是,A,的逆矩阵，,则,AB=BA=E,AC=CA=E,B,=BE,=B(AC),=(BA)C,=EC,=C,性质,定理,如果,A,和,B,为同阶可逆矩阵，则,AB,可逆，且,证明,故由推论,1,便知,AB,可逆，且,同理有：,性质,如果,A,是可逆矩阵，则,A,的每一行不能全为零，,A,的每一列也不能全为零。,证明：假设,A,的第,i,行全为零，则有矩阵乘法知,的第,i,行全为零。这与,矛盾。同理，每一列,也不能全为零。,逆矩阵的应用,记,方程组的矩阵形式,一、矩阵的分块,对于行数和列数较高的矩阵 ，为了,简化运算，经常采用,分块法,，使大矩阵的,运算化成小矩阵的运算,.,具体做法是：将,矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小,矩阵，每一个小矩阵称为 的,子块,，以子,块为元素的形式上的矩阵称为,分块矩阵,.,如：,则不是分块矩阵。,分块矩阵,二、分块矩阵的运算规则,其中,例题：,设,将,A,、,B,适当分块，计算,AB,解,将,A,、,B,作如下分块：在二、三行之间插入横线，,在二、三列之间插入竖线（如题目所示），则,则,而,所以,例,例,作业,P33 1,、,2,(1)(4),、,5(3),;,
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