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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,其方向用,法向量指向,方向余弦,0,为前侧,0,为右侧,0,为上侧,0 为前侧封闭曲面 0 为右,1,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,1.,引例,设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面,的流量,.,分析,:,若,是面积为,S,的平面,则流量,法向量,:,流速为常向量,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第2页/共26页,二、对坐标的曲面积分的概念与性质 1.引例 设稳定流动,2,对一般的,有向曲面,用,“大化小,常代变,近似和,取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第3页/共26页,对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极,3,设,为光滑的有向曲面,在,上定义了一个,意分割,和在局部面元上,任意取点,分,记作,P,Q,R,叫做,被积函数,;,叫做,积分曲面,.,或,第二类曲面积分,.,下列极限都存在,向量场,若对,的,任,则称此极限为向量场,A,在有向曲面上,对坐标的曲面积,2.,定义,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页/共26页,设 为光滑的有向曲面,在 上定义了一个意分割和在局,4,引例中,流过有向曲面,的流体的流量为,称为,Q,在有向曲面,上,对,z,x,的曲面积分,;,称为,R,在有向曲面,上,对,x,y,的曲面积分,.,称为,P,在有向曲面,上,对,y,z,的曲面积分,;,若记,正侧,的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页/共26页,引例中,流过有向曲面 的流体的流量为称为Q 在有向曲面,5,3.,性质,(1),若,之间无公共内点,则,(2),用,表示,的反向曲面,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页/共26页,3.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用 表示,6,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理,:,设光滑曲面,取上侧,是,上的连续函数,则,证,:,取上侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页/共26页,三、对坐标的曲面积分的计算法定理:设光滑曲面取上侧,是,7,若,则有,若,则有,(,前正后负,),(,右正左负,),说明,:,如果积分曲面,取下侧,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页/共26页,若则有 若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分,8,例,1.,计算,其中,是以原点为中心,边长为,a,的正立方,体的整个表面的,外侧,.,解,:,利用对称性,.,原式,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页/共26页,例1.计算其中 是以原点为中心,边长为 a 的正立方,9,解,:,把,分为上下两部分,根据对称性,思考,:,下述解法是否正确,:,例,2.,计算曲面积分,其中,为球面,外侧在第一和第八卦限部分,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第10页/共26页,解:把 分为上下两部分根据对称性 思考:下述解法是否,10,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页/共26页,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1,11,例,3.,设,S,是球面,的外侧,计算,解,:,利用,轮换对称性,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页/共26页,例3.设S 是球面的外侧,计算解:利用轮换对称性,12,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页/共26页,四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画机动,13,令,向量形式,(,A,在,n,上的投影,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第14页/共26页,令向量形式(A 在 n 上的投影)机动 目录 上页,14,例,4.,设,是其外法线与,z,轴正向,夹成的锐角,计算,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页/共26页,例4.设是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角,计算解:机,15,例,5.,计算曲面积分,其中,解,:,利用两类曲面积分的联系,有,原式,=,旋转抛物面,介于平面,z=,0,及,z=,2,之间部分的下侧,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页/共26页,例5.计算曲面积分其中解:利用两类曲面积分的联系,有,16,原式,=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页/共26页,原式=机动 目录 上页 下页 返回 结,17,内容小结,定义,:,1.,两类曲面积分及其联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页/共26页,内容小结定义:1.两类曲面积分及其联系 机动 目录,18,性质,:,联系,:,思考,:,的方向有关,上述联系公式是否矛盾,?,两类曲线积分的定义一个与,的,方向无关,一个与,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页/共26页,性质:联系:思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲,19,2.,常用计算公式及方法,面积分,第一类,(,对面积,),第二类,(,对坐标,),二重积分,(1),统一积分变量,代入曲面方程,(,方程不同时分片积分,),(2),积分元素投影,第一类：面积投影,第二类：有向投影,(4),确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注,：,二重积分是第一类曲面积分的特殊情况,.,转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页/共26页,2.常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对,20,当,时，,（上侧取“,+”,下侧取“,”,),类似可考虑在,yoz,面及,zox,面上的二重积分转化公式,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页/共26页,当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在 yoz,21,思考与练习,1.P167,题,2,提示,:,设,则,取上侧时,取下侧时,2.P184,题,1,3.P167,题,3(3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第22页/共26页,思考与练习1.P167 题2提示:设则 取上侧时,22,是平面,在第四卦限部分的上侧,计算,提示,:,求出,的法方向余弦,转化成第一类曲面积分,P167,题,3(3).,设,作业,P167 3,(1),(2),(4);,4,(1),(2),第六节 目录 上页 下页 返回 结束,第23页/共26页,是平面在第四卦限部分的上侧,计算提示:求出 的法方向,23,备用题,求,取外侧,.,解,:,注意,号,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第24页/共26页,备用题 求取外侧.解:注意号其中机动 目录,24,利用轮换对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第25页/共26页,利用轮换对称性机动 目录 上页 下页 返回,25,感谢您的欣赏！,第26页/共26页,感谢您的欣赏！第26页/共26页,26,
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