重积分的应用课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,返回,第四节 重积分的应用,一、问题的提出,二、曲面的面积,三、质心,四、转动惯量,五、引力,六、小结 思考题,第四节 重积分的应用一、问题的提出二、曲面的面积三、质心,1,一、问题的提出,1.能用重积分解决的实际问题的,特点,所求量是,对区域具有可加性,从定积分定义出发 建立积分式,用微元分析法(元素法),分布在有界闭域上的整体量,3.解题,要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2.用重积分解决问题的,方法,一、问题的提出1.能用重积分解决的实际问题的特点所求量是,2,二、曲面的面积,二、曲面的面积,3,1.设曲面的方程为：,在,D,上偏导数连续,设光滑曲面,则面积,A,可看成曲面上各点,处小切平面的面积,d,A,无限积累而成.,设它在,D,上的投影为,d,(称为曲面S的面积元素),则,1.设曲面的方程为：在D上偏导数连续设光滑曲面则面积 A 可,4,故有曲面面积公式,即,2.若光滑曲面方程为,则有,3.若光滑曲面方程为,则有,故有曲面面积公式即2.若光滑曲面方程为则有3.若光滑曲面方程,5,【例,1,】,【解】,【例1】【解】,6,在,D,上无界,在D上无界,7,于是 半个球面的面积为,整个球面的面积为,【注】,反常二重积分,于是 半个球面的面积为整个球面的面积为【注】反常二重积分,8,【解】,补充,动画演示,【解】补充动画演示,9,重积分的应用课件,10,【解】,解方程组,得两曲面的交线为圆周,在 平面上的投影域为,【解】解方程组得两曲面的交线为圆周在 平面上的投影域为,11,重积分的应用课件,12,例4.,计算双曲抛物面,被柱面,所截,解:,曲面在,xoy,面上投影为,则,出的面积,A.,a,z,o,x,y,z=x y,.,例4.计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在 xoy 面,13,a,x,z,y,0,axz y0,14,D,a,a,a,a,x,o,y,D,x,z,y,0,DaaaaxoyDxz y0,15,2,x,z,y,o,2xzyo,16,x,z,y,2,问题：,曲面向哪个坐标面投影？,o,只能向,zox,平面投影,xzy2问题：o只能向zox平面投影,17,x,z,y,2,D,xz,o,xzy2Dxzo,18,x,z,y,2,D,xz,o,xzy2Dxzo,19,三、质心,1.,平面薄片的质心,三、质心1.平面薄片的质心,20,当薄片是均匀的，重心称为,形心,.,由元素法,(二重积分表示),当薄片是均匀的，重心称为形心.由元素法(二重积分表示),21,【解】,【解】,22,【解】,【解】,23,【例,8,】,薄片关于 轴对称,【解】,【例8】薄片关于 轴对称【解】,24,2.,空间物体的质心,其中,（推广）,(三重积分表示),2.空间物体的质心其中（推广）(三重积分表示),25,四、转动惯量,1.,平面薄片的转动惯量,四、转动惯量1.平面薄片的转动惯量,26,薄片对于,轴的转动惯量,薄片对于,轴的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量薄片对于 轴的转动惯量,27,【解】,【解】,28,重积分的应用课件,29,2.,空间立体的转动惯量,点到x轴的距离平方,点到原点的距离平方,2.空间立体的转动惯量点到x轴的距离平方点到原点的距离平方,30,【例,10,】,【解】,【例10】【解】,31,重积分的应用课件,32,薄片对,轴上单位质点的引力,为引力常数,五、引力,薄片对 轴上单位质点的引力为引力常数五、引力,33,【解】,由积分区域的对称性知,【解】由积分区域的对称性知,34,所求引力为,【推广】,空间立体对质点的引力（,略,）,所求引力为【推广】空间立体对质点的引力（略）,35,【几何应用】,曲面的面积,【物理应用】,质心、转动惯量、,对质点的引力,（注意审题，熟悉相关物理知识）,六、小结,【几何应用】曲面的面积【物理应用】质心、转动惯量、对质点的引,36,