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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,圆的切线,1,直线与圆的三种位置关系,在图中，图,(1),、图,(2),、图,(3),中的直线,l,和,O,是什么关系,?,图（）,图（）,图（）,、观察、提出问题、分析发现,图,(2),中直线,l,是,O,的切线，怎样判定？根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义判定很不方便我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢,?,如图，直线,l,到圆心,O,的距离,OA,等于圆,O,的半径，直线,l,是,O,的切线这时我们来观察直线,l,与,O,的位置,发现,：,(1),直线,l,经过半径,OC,的外端点,C,；,(2),直线,l,垂直于半径,0C,这样我们就得到了从,位置上来判定直线是圆的切线的方法,切线的判定定理,（二）切线的判定定理：,1,、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,2,、对定理的理解：,切线需满足两条：,经过半径外端；垂直于这条半径,问题：定理中的两个条件缺少一个行不行,?,定理中的两个条件缺一不可,想一想,过圆,0,内一点作直线，这条直线与圆有怎样的位置关系？过半径,OA,上一点（,A,除外）能作圆,O,的切线吗？过点,A,呢？,O,r,l,A,切线的判定定理,经过半径的外端并且垂直于这,条半径的直线是圆的切线。,OA,是半径，,OA,l,于,A,l,是,O,的切线。,几何符号表达：,一、切线的判定定理,如图,如果直线,I,是,O,的切线,A,是切点,那么半径,OA,与,L,垂直吗,?,A,B,O,二、切线的性质,:,圆的切线垂直于经过切点的半径,.,直线,I,切,O,于点，,l,I,判 断,1.,过半径的外端的直线是圆的切线（）,2.,与半径垂直的的直线是圆的切线（）,3.,过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）,O,r,l,A,O,r,l,A,O,r,l,A,利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可,:,(1),直线经过半径的外端,;,(2),直线与这半径垂直。,图,(1),中直线,l,经过半径外端，但不与半径垂直；图,(2),（,3,）中直线,l,与半径垂直，但不经过半径外端,从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线,判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法,?,切线判定有以下三种方法,:,1.,利用切线的定义,:,与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。,2.,利用,d,与,r,的关系作判断,:,当,d,r,时直线是圆的切线。,3.,利用切线的判定定理,:,经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。,想一想,（四）应用定理，强化训练,例,1,已知：直线,AB,经过,O,上的点,C,，,并且,OA=OB,，,CA,CB,求证：直线,AB,是,O,的切线,分析：欲证,AB,是,O,的切线由于,AB,过圆上点,C,，,若连结,OC,，则,AB,过半径,OC,的外端，只需证明,OCOB.,证明：连结,0C,0A,0B,，,CA,CB,，,0C,是等腰三角形,0AB,底边,AB,上的中线,ABOC,直线,AB,经过半径,0C,的外端,C,，,并且垂直于半径,0C,，,所以,AB,是,O,的切线,例,1,、已知,AB,是,O,的直径，,BC,是,O,的切线，切点为,B,，,OC,平行于弦,AD,求证：,DC,是,O,的切线,(4),和圆有一个公共点的直线是圆的切线,(5),以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切,练习,1,判断下列命题是否正确,(1),经过半径外端的直线是圆的切线,(2),垂直于半径的直线是圆的切线,(3),过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线,（一）基本性质,(1),切线和圆有唯一公共点；,（切线的定义）,(2),切线和圆心的距离等于圆的半径；,切线的性质定理：,圆的切线垂直于经过切点的半径,推论,1,：,经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点,推论,2,：,经过切点且垂于切线的直线必经过圆心,如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个,(1),垂直于切线；,(2),过切点；,(3),过圆心,(,二,),切线的性质,(1),切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）,(2),切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法,(2),的逆命题）,(3),切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）,(4),经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论,1,）,(5),经过切点垂直于切线的直线必过圆心（推论,2,）,例,1,、如图，,AB,为,O,的直径，,C,为,O,上一点，,AD,和过,C,点的切线互相垂直，垂足为,D,求证：,AC,平分,DAB,证明：连结,OC,AC,平分,DAB,（一）复习与归纳,1,、切线的判定,切线的判定方法有三种：,直线与圆有唯一公共点；,直线到圆心的距离等于该圆的半径；,切线的判定定理即经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,2,、切线的性质：,(1),切线和圆有唯一公共点；（切线的定义）,(2),切线和圆心的距离等于圆的半径；（判定方法,(2),的逆命题）,(3),切线垂直于过切点的半径；（切线的性质定理）,(4),经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（推论,1,）,(5),经过切点垂直于切线的直线必过圆心（推论,2,）,证明：连结,OP,。,AB=AC,B=C,。,OB=OP,，,B=OPB,，,OBP=C,。,OPAC,。,PEAC,，,PEC=90,OPE=PEC=90,PEOP,。,PE,为,0,的切线。,如图,ABC,中，,AB=AC,，以,AB,为直径的,O,交边,BC,于,P,，,PEAC,于,E,。,求证,:PE,是,O,的切线。,练 习,O,A,B,C,E,P,例,2,、,如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,和,CD,相等，且,AB,与小圆相切于点,E,，,求证：,CD,与小圆相切,例,3,、,已知：,AB,是半,O,直径，,CDAB,于,D,，,EC,是切线，,E,为切点,求证：,CE=CF,如图,AB,是,O,的直径,.AE,是弦,EF,是,O,的切线,E,是切点,AFEF,垂足为,F,AE,平分,FAB,吗,?,A,F,A,B,E,O,例,3,.,A,C,B,P,O,练习：,如图,点,P,在,0,外，,PC,是,0,的切线,切点是,C.,直线,PO,与,0,交于,A,、,B,试探求,P,与,A,的数量关系,.,例题讲解:,三:,：,(1),题目中“半径”已有，只需证“垂直”即可得直线与圆相切。,例,1,已知：如图，,AB,是,O,的直径，,D,在,AB,的延长线上，,BD,OB,，,C,在圆上，,CAB,30,，求证：,DC,是,O,的切线。证明：连,OC,、,BC,，,AO,OC,，,OCA,A,30,BOC,60,，,BOC,是等边三角形,BD,OB,BC,，,D,BCD,30,DCO,90,DCOC,DC,是,O,的切线。,关于切线的判定问题，常见类型有：,4,如图，已知,AB,是,O,的直径，点,E,在,O,外，,AE,交,O,于,C,，,CD,是,O,的切线，交,BE,于点,D,，且,DE,DB,，求证：,BE,是,O,的切线。,5,如图，,ADC,内接于,O,，,AB,是,O,的直径，且,EAC,D,。求证：,AE,是,O,的切线。,分析：,要证,AE,是,O,的切线，只要证,OAAE,，即证,OAE,90,
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