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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,一、平面图形的面积,1.,直角坐标情形,设曲线,与直线,及,x,轴所围曲,则,边梯形面积为,A,右下图所示图形面积为,一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及 x 轴所,例,1.,计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积,.,解,:,由,得交点,O,x,y,图,1-4,1,例1.计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解,例,2.,计算抛物线,与直线,的面积,.,解,:,由,得交点,所围图形,为简便计算,选取,y,作积分变量,则有,例2.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形,2.,当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,按,顺时针方向,规定起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,2.当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时,按顺时针方向规定起点,例,3.,求椭圆,解,:,利用对称性,所围图形的面积,.,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当,a,=,b,时得圆面积公式,例3.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利,例,4+.,求由摆线,的一拱与,x,轴所围平面图形的面积,.,解,:,例4+.求由摆线的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.解:,3.,极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积,.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,3.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任,例,5.,计算心形线,所围图形的,面积,.,解,:,(,利用对称性,),例5.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性),例,6.,求双纽线,所围图形面积,.,解,:,利用对称性,则所求面积为,思考,:,用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积,.,答案,:,例6.求双纽线所围图形面积.解:利用对称性,则所求,1,、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于,x,轴的截面面积为,A,(,x,),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,1、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截,2,旋转体的体积,轴旋转一周围成的立体体积时,有,（,2,）当考虑连续曲线段,绕,y,轴旋转一周围成的立体体积时,有,(1),当考虑连续曲线段,2 旋转体的体积轴旋转一周围成的立体体积时,有（2）当考虑连,双曲边梯形情形,双曲边梯形情形,例,7,计算由椭圆,围成的图形绕,轴旋转一周所成的旋转椭球体的体积,.,解,例7计算由椭圆围成的图形绕轴旋转一周所成的旋转椭球体的体积.,例,8+.,计算由椭圆,所围图形绕,x,轴旋转而,转而成的椭球体的体积,.,解,:,方法,1,利用直角坐标方程,则,(,利用对称性,),例8+.计算由椭圆所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的,方法,2,利用椭圆参数方程,则,特别当,b,=,a,时,就得半径为,a,的球体的体积,方法2 利用椭圆参数方程则特别当b=a 时,就得半,例,9.,计算摆线,的一拱与,y,0,所围成的图形分别绕,x,轴,y,轴旋转而成的立体体积,.,解,:,绕,x,轴旋转而成的体积为,利用对称性,例9.计算摆线的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴,绕,y,轴旋转而成的体积为,注意上下限,!,绕 y 轴旋转而成的体积为注意上下限!,例,10.,一平面经过半径为,R,的圆柱体的底圆中心,并,与底面交成,角,解,:,如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于,x,轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积,.,例10.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并与底面,思考,:,可否选择,y,作积分变量,?,此时截面面积函数是什么,?,如何用定积分表示体积,?,提示,:,思考:可否选择 y 作积分变量?此时截面面积函数是什么,垂直,x,轴的截面是椭圆,例,11+.,计算由曲面,所围立体,(,椭球体,),解,:,它的面积为,因此椭球体体积为,特别当,a,=,b,=,c,时就是球体体积,.,的体积,.,垂直 x 轴的截面是椭圆例11+.计算由曲面所围立体(椭,三、平面曲线的弧长,定义,:,若在弧,AB,上任意作内接折线,当折线段的最大,边长,0,时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧,AB,的弧长,即,并称此曲线弧为可求长的,.,定理,:,任意光滑曲线弧都是可求长的,.,(,证明略,),则称,三、平面曲线的弧长定义:若在弧 AB 上任意作内接折线,(2),曲线弧由参数方程给出,:,弧长元素,(,弧微分,):,因此所求弧长,(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求,(2),曲线弧由直角坐标方程给出,:,弧长元素,(,弧微分,):,因此所求弧长,(2)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此,(3),曲线弧由极坐标方程给出,:,因此所求弧长,则得,弧长元素,(,弧微分,):,(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧,例,13,证明正弦线,的弧长等于,椭圆的周长,.,解设正弦线的弧长为,.,例13 证明正弦线的弧长等于椭圆的周长.解设正弦线的弧长为,例,13,续,设椭圆的弧长为 ，,由椭圆的对称性，,例13续设椭圆的弧长为 ，由椭圆的对称性，,例,14.,求阿基米德螺线,相应于,0,2,一段的弧长,.,解,:,例14.求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长.,内容小结,1.,平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2.,平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分,:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意,:,求弧长时积分上下限必须,上大下小,内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.,3.,已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积,绕,x,轴,:,4.,旋转体的侧面积,侧面积元素为,(,注意在不同坐标系下,ds,的表达式,),3.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕 x 轴,对应,从,0,变,练习,1+.,计算阿基米德螺线,解,:,点击图片任意处,播放开始或暂停,到,2,所围图形面积,.,对应 从 0 变练习1+.计算阿基米德螺线解:点击图,练习,2+.,计算摆线,一拱,的弧长,.,解,:,练习2+.计算摆线一拱的弧长.解:,例,8,求星形线,绕,轴旋转一周所成旋转体的体积,.,解,该旋转体可看作是由,绕,轴旋转一周而成的立体,.,于是,.,图,5.18,例8求星形线绕轴旋转一周所成旋转体的体积.解 该旋转体可看作,.,.,思考与练习,1.,用定积分表示图中阴影部分的面积,A,及边界长,s,.,提示,:,交点为,弧线段部分,直线段部分,以,x,为积分变量,则要分,两段积分,故以,y,为积分变量,.,思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长,2.,试用定积分求圆,绕,x,轴,上,半圆为,下,求体积,:,提示,:,方法,1,利用对称性,旋转而成的环体体积,V,及表面积,S,.,2.试用定积分求圆绕 x 轴上半圆为下求体积:提示:方法,备用题,解：,1.,求曲线,所围图形的面积,.,显然,面积为,同理其它,.,又,故在区域,备用题解：1.求曲线所围图形的面积.显然面积为同理其它.又,3.,求曲线,图形的公共部分的面积,.,解,：,与,所围成,得,所围区域的面积为,3.求曲线图形的公共部分的面积.解：与所围成得所围区域的面,设平面图形,A,由,与,所确定,求,图形,A,绕直线,x,2,旋转一周所得旋转体的体积,.,提示：,选,x,为积分变量,.,旋转体的体积为,4.,若选,y,为积分变量,则,设平面图形 A 由与所确定,求图形 A 绕直线 x2,5.,求曲线,与,x,轴围成的封闭图形,绕直线,y,3,旋转得的旋转体体积,.,(94,考研,),解,:,利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,5.求曲线与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的,
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