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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第十五章,傅里叶级数,本章内容,1.,傅里叶级数,2.,以,2,l,为周期的函数的展开式,3.,收敛定理的证明,2024/11/11,1,第十五章傅里叶级数本章内容1.傅里叶级数2.以2,15.1 傅里叶级数,一、,三角级数 三角函数系,的,正交性,二、函数展开成,傅里叶级数,三、,收敛定理,2024/11/11,2,15.1 傅里叶级数一、三角级数 三角函数系的正交性二、函,一、三角级数 三角函数系的正交性,在数学分析学习当中，接触两类,基函数,：,周期函数,（整体性质）,Fourier,级数,函数在,一点,的性质,三角级数 表达周期函数,三角函数系,2024/11/11,3,一、三角级数 三角函数系的正交性在数学分析学习当中，接触两,谐波分析,称为三角级数,.,简单的周期运动,:,复杂的周期运动,:,得级数,1.,三角级数,2024/11/11,4,谐波分析称为三角级数.简单的周期运动:复杂的周期运动:得,1757,年，法国数学家,克莱罗,在研究太阳引起的摄动时,大胆地采用了三角级数表示函数,:,1759,年，,拉格朗日,在对声学的研究中使用了三角级数,.,1777,年，,欧拉,在天文学的研究中，用三角函数的正交,性得到了将函数表示成三角函数时的系数,.,也就是现今教科书中,傅立叶级数,的系数,.,2024/11/11,5,1757年，法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时,大胆地采,在历史上，,三角级数,的出现和发展与求解微分方,1753,年，丹,伯努利,首先提出将弦振动方程的解表,程是分不开的,.,为为三角级数的形式,这为傅立叶级数题奠定了物理,1822,年，,傅立叶,在,热的解析理论,一书中对于,对于欧拉和伯努利等人就一些孤立的、特殊的情形,采用的三角级数方法进行加工处理，发展成一般理论,.,基础，促进了它的发展,.,2024/11/11,6,在历史上，三角级数的出现和发展与求解微分方 175,其中,傅立叶,指出,:,可以展开成级数,2024/11/11,7,其中傅立叶指出:可以展开成级数2023/10/67,2.,三角级数的收敛性,三角级数,证,:,用,M,判别法,.,2024/11/11,8,2.三角级数的收敛性三角级数 证:用M判别法.2023/1,3.,三角函数系的正交性,三角函数系,2024/11/11,9,3.三角函数系的正交性三角函数系2023/10/69,1.,三角级数的系数与其和函数的关系,问题,:,我们形式地计算：,要一致收敛,二、函数展开成傅里叶级数,2024/11/11,10,1.三角级数的系数与其和函数的关系 问题:我们形式地计算：,要一致收敛,2024/11/11,11,要一致收敛2023/10/611,由上述讨论，有：,2024/11/11,12,由上述讨论，有：2023/10/612,2,.Fourier,系数和,Fourier,级数,EulerFourier,公式：,为,EulerFourier,公式。,称由,EulerFourier,2024/11/11,13,2.Fourier系数和Fourier级数 EulerF,记为,2024/11/11,14,记为 2023/10/614,三、收敛定理,1.,按段光滑函数,2024/11/11,15,三、收敛定理 1.按段光滑函数 2023/10/615,按段光滑函数的,性质,：,(,用,Lagrange,中值定理证明,),2024/11/11,16,按段光滑函数的性质：(用Lagrange中值定理证明),2.,收敛定理,(,证明放到以后进行,),2024/11/11,17,2.收敛定理(证明放到以后进行)2023/10/617,2024/11/11,18,2023/10/618,3.,函数的周期延拓,如图所示，,Fourier,级数。,2024/11/11,19,3.函数的周期延拓 如图所示，Fourier级数。2023,解,函数,f,及其周期延拓后的图像如图所示,2024/11/11,20,解 函数 f 及其周期延拓后的图像如图所示,2023/10,2024/11/11,21,2023/10/621,2024/11/11,22,2023/10/622,解,函数,f,及其周期延拓后的图像如图所示,.,2024/11/11,23,解 函数 f 及其周期延拓后的图像如图所示.2023/10,2024/11/11,24,2023/10/624,解,所给函数满足收敛定理条件,.,延拓的周期函数的傅氏级数展开式在,收敛于,.,2024/11/11,25,解所给函数满足收敛定理条件.延拓的周期函数的,所求函数的,Fourier,展开式为,2024/11/11,26,所求函数的Fourier展开式为2023/10/626,利用,Fourier,展开式求级数的和,2024/11/11,27,利用Fourier展开式求级数的和2023/10/627,解,所给函数满足收敛定理条件,.,2024/11/11,28,解所给函数满足收敛定理条件.2023/10/628,所求函数的傅里叶展开式为,2024/11/11,29,所求函数的傅里叶展开式为2023/10/629,2024/11/11,30,2023/10/630,2024/11/11,31,2023/10/631,2024/11/11,32,2023/10/632,2024/11/11,33,2023/10/633,傅里叶,(1768 1830),法国数学家,.,他的著作,热的解析,理论,(1822),是数学史上一部经典性,书中系统的运用了三角级数和,三角积分,他的学生将它们命名为傅,里叶级数和傅里叶积分,.,最卓越的工具,.,以后以傅里叶著作为基础发展起来的,文献,他深信数学是解决实际问题,傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展,都产生了深远的影响,.,2024/11/11,34,傅里叶(1768 1830)法国数学家.他的著作热,
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