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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.,已知抛物线则它的焦点坐标是（）,A.,B.,C.,D.,抛物线的标准方程为焦点在,y,轴上，其坐标为（,0,），选,D.,易错点：研究抛物线的几何性质时，方程必须是标准方程,.,D,2.,若抛物线 的准线过双曲线,的左焦点，则,p,的值为（）,A.4 B.-4,C.2 D.-2,双曲线的左焦点为（,-2,0,），抛物线,y2=2px,的准线方程为,所以有 所以,p=4,，选,A.,A,3.,抛物线,x2=4y,上一点,A,的纵坐标为,4,，则点,A,与抛物线焦点,F,的距离为（）,A.2,B.3,C.4,D.5,D,解法,1,：,y=4,代入,x2=4y,，得,x=4,，,所以,A,（,4,4,），焦点坐标为（,0,1,），,由两点间距离公式知距离为,解法,2,：抛物线的准线方程为,y=-1,，所以,A,到准线的距离为,5.,又因为,A,到准线的距离与,A,到焦点的距离相等，所以距离为,5,选,D.,4.,已知抛物线过点,P,（,-1,2,），则抛物线的标准方程为,.,当焦点在,y,轴上时，方程可设为,x2=,my,，因为过点,P,（,-1,2,），所以,m=,，方程为,x2=,y,；当焦点在,x,轴上时，方程可设为,y2=nx,，因为过点,P,（,-1,2,），所以,n=-4,，方程为,y2=-4x.,填,x2=,y,或,y2=-4x.,易错点：求抛物线的标准方程，应分析焦点所在的位置,.,5.,已知过点,M,（,2,2,）的直线,l,与抛物线,C,：,y2=4x,交于,A,B,两点，且,M,是线段,AB,的中点,则弦长,=,.,显然直线,l,的斜率必存在，设,l,：,y-2=k,（,x-2,），,y-2=k,（,x-2,）,y2=4x,，,则由,，消去,x,得,y2-y+2-2k=0,设,A（x1,y1）,B（x2,y2），M,是线段,AB,的中点，,所以得,k=1，,则,y2-y=0，,得,y=0,或,y=4.,所以,A（0,0）,B（4,4），,所以填,1.,抛物线的定义平面内到一定点,F,的距离与到一条定直线,l,的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点,F,叫做抛物线的焦点，定直线,l,叫做抛物线的准线,.,2.,抛物线的标准方程,(1),方程,y2=2px(p0),，,x2=2py(p0),叫做抛物线的标准方程，其中“,”,号决定抛物线的开口方向,.,(2),抛物线,y2=2px(p0),的焦点坐标是,(,0),，准线方程,x=-,，开口向右；,抛物线,y2=-2px(p0),的焦点坐标是,(-,0),，准线方程,x=,，开口向左；,抛物线,x2=2py(p0),的焦点坐标是,(0,),，准线方程,y=-,，开口向上；,抛物线,x2=-2py,（,p0,）的焦点坐标是（,0,-,），准线方程,y=,，开口向下,.,(3),抛物线,y2=2px(p0),上的点,M(x0,y0),与焦点,F,的距离,抛物线,y2=-2px(p0),上的点,M(x0,y0),与焦点,F,的距离,3.,抛物线的几何性质,(1),抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，只有一条；抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点，只有一个；抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，其值为,1.,(2),设抛物线的标准方程为,y2=2px(p0),，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为,p.,(3),已知过抛物线,y2=2px(p0),焦点的直线交抛物线于,A,、,B,两点，则线段,AB,称为焦点弦，设,A(x1,y1),B(x2,y2),，则弦长,=x1+x2+p,或,(,为直线,AB,的倾斜角,),，,y1y2=-p2,，,x1x2=,(,叫做焦半径,).,重点突破：抛物线的定义及其应用,已知抛物线,y2=2x,的焦点是,F,，点,P,是抛物线上的动点，又点,A,（,3,2,），求,的最小值，并求取最小值时点,P,的坐标,.,由定义知，抛物线上点,P,到焦点,F,的距离等于点,P,到准线,l,的距离，求,的问题可转为求的问题,.,将,x=3,代入抛物线方程,y2=2x,，得,y=,.,因为,2,，所以,A,在抛物线内部,.,设抛物线上的点,P,到准线,l,：,x=-,的距离为,d,，,由定义知当,PAl,时，取到最小，为,.,此时点,P(2,，,2).,即的最小值为，且,P(2,，,2).,重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的主要途径,.,在抛物线,y2=4x,上求点,P,到点,A(-1,1),的距离与点,P,到直线,x=-1,的距离之和的最小值,.,如图，易知抛物线的焦点为,F(1,0),，准线是,x=-1,，由抛物线的定义知，点,P,到直线,x=-1,的距离等于点,P,到焦点,F,的距离，,于是问题转化为在曲线上求一点,P,，使点,P,到点,A,（,-1,1,）的距离与点,P,到,F,（,1,0,）的距离之和最小，显然，连接,AF,交曲线于,P,点时有最小值为 即,.,重点突破：抛物线的标准方程及其几何性质,如图，抛物线,y2=2px(p0),的焦点为,F,，,A,在抛物线上，其横坐标为,4,，且位于,x,轴上方，,A,到抛物线准线的距离为,5,，过,A,作,AB,垂直于,y,轴，垂足为,B,，,OB,的中点为,M.,(),求抛物线的方程，,(),过,M,作,MNFA,，垂足为,N,求点,N,的坐标,.,(),利用点,A,到准线的距离可求得,P.,(),可求点,A,的坐标，联立两直线方程，看求得交点,N,的坐标,.,(),抛物线,y2=2px(p0),准线为,x=-,，于是,4+,=5,，所以,p=2,，所以抛物线的标准方程,y2=4x.,(),由,(),得点,A,的坐标是,(4,4),，由题意得,B(0,4),M(0,2),又因为,F(1,0),所以,kFA=,，,因为,MNFA,所以,kMN=-,则,FA,所在的直线方程为,y=,(x-1),，,MN,所在的直线方程为,y-2=-,x,，,y=,(x-1),y-2=-,x,解方程组,得,所以,求抛物线的标准方程常采用待定系数法，利用已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离,p,的值,.,抛物线的顶点在原点，焦点在,y,轴上，抛物线上一点,P,（,m,-3,）到焦点的距离为,5,，则抛物线的准线方程为,y=2.,由题意可设抛物线方程为,x2=-2py,（,p0,），因为,P,（,m,-3,）到焦点的距离为,5,，,所以,P,到准线的距离为,+3=5,，所以,p=4.,所以抛物线的准线方程为,y=2,，填,y=2.,重点突破：直线与抛物线的位置关系,如图：,AB,是过抛物线,y2=2px(p0),焦点,F,的弦，,M,是,AB,的中点，,l,是抛物线的准线，,MNl,，,N,是垂足，设,A(x1,y1),B(x2,y2).,求证：,()y1y2=-p2,，,x1x2=,；,(),(),设,BDl,，,D,为垂足，则,A,、,O,、,D,三点共线,.,（,）设出直线,AB,的方程，与抛物线方程联立，消去,x,得关于,y,的一元二次方程，结合韦达定理及点,A,、,B,在抛物线上，可求得,.,（,）由焦点弦公式可求得,.,（,）要证,A,、,O,、,D,三点共线，只要证明点,D,在直线,OA,上即可,.,(),由已知直线,AB,的方程为,y=k(x-),与,y2=2px,联立，消去,x,，得：,ky2-2py-kp2=0(k0),，,根据韦达定理，,y1y2=-p2.,因为 所以,所以,(,当,ABx,轴时，上述的结论显然成立,),（,）因为,所以,由（,）代入上式，,化简可得,（,）因为点,D,的坐标为（,-,y2,），直线,OA,的方程为,要证,A,、,O,、,D,三点共线，只要证明点,D,在直线,OA,上即可，,因此只需证明即证明,2x1y2=-py1,即可，,因为所以只需证明,即证明,y1y2=-p2,即可，这已由（,）证明，所以结论成立,.,解决直线与抛物线的焦点弦问题，一般设交点坐标，联立方程组，借助韦达定理及点在抛物线上等条件解题，须关注过焦点的弦的一些性质，如,x1x2=,，,y1y2=-p2,，弦长,=x1+x2+p,等,.,设,ABC,为等腰三角形，,ABC=120,则已知抛物线,C,：,y=2x2,，直线,y=kx+2,交,C,于,A,、,B,两点，,M,是线段,AB,的中点，过,M,作,x,轴的垂线交抛物线,C,于点,N.,求证：抛物线,C,在点,N,处的切线,l,与,AB,平行,.,设,A,（,x1,）,B,（,x2,）,将,y=kx+2,代入，得,2x2-kx-2=0.,由根与系数的关系，得,x1+x2=,；,x1x2=-1.,因为,所以,N,点的坐标为（），又因为,y=2x2,，所以,y=4x,，,所以过,N,点切线的斜率,kl=4,=k,，即,kl=kAB.,所以,lAB,，即,lAB.,已知点,A(-1,0),，,F(1,0),和抛物线,C,：,y2=4x,，,O,为坐标原点，过点,A,的动直线,l,交抛物线,C,于,M,、,P,两点，直线,MF,交抛物线,C,于另一点,Q,，如图,(),若,POM,的面积为，求向量与的夹角；,(),判断直线,PQ,与,y,轴的位置关系，并说明理由,.,(),设,M(x1,y1),P(x2,y2),，利用,A,、,M,、,P,三点共线及与,S,MOP,的关系求解,.,(),求出点,P,、,Q,坐标的关系，可判断结论,.,(),设点,M(,y1),、,P(,y2),因为,P,、,M,、,A,三点共线，,所以,kAM=kPM,即,则所以,y1y2=4.,所以,设,POM=,，则,因为,SPOM=,，,所以,由此可得,tan=1,，,又,（,0,），,所以,=45,，,故向量与的夹角为,45.,(),直线,MF,的方程为,联立抛物线方程,y2=4x,，消去,x,得：,即,所以 或,y=y1.,从而知道点,Q,的纵坐标,yQ=-,，又由,(),知，,y1y2=4,，所以,y1=,.,故得,xP=xQ,所以直线,PQ,与,y,轴平行,.,1.,抛物线的标准方程有四种形式，在求解过程中，首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式，若只能判断对称轴，而不能判断开口方向，可设为,x2=ay,（,a0,）或,y2=ax,（,a0,），然后利用待定系数法和已知条件求解,.,2.,抛物线没有中心，只有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴且离心率,e=1,，所以与椭圆、双曲线相比，必有许多特殊的性质，可以借助几何知识来解决,.,3.,明确,p,的几何意义,焦点到准线的距离，简称焦准距，抛物线,y2=2px,（,p0,）上的点常设为 便于简化计算,.,4.,重视抛物线的定义在解题中的应用,(1),凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离处理,.,(2),若,P(x0,y0),为抛物线,y2=2px(p0),）上一点，由定义易得 若过焦点的弦,AB,的端点坐标为,A(x1,y1),、,B(x2,y2),，则弦长为,=x1+x2+p,，,x1+x2,可由根与系数的关系整体求出若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长可由数形结合的方法类似的得到,.,；,1.,（,2009,山东卷）设斜率为,2,的直线,l,过抛物线,y2=ax,（,a0,）的焦点,F,且和,y,轴交于点,A.,若,OAF,（,O,为坐标原点）的面积为,4,则抛物线方程为（）,A.y2=4x,B.y2=8x,C.y2=4x,D.y2=8x,B,抛物线,y2=ax,（,a0,）的焦点,F,的坐标为（,0,）,则直线,l,的方程为,y=2,（,x-,）,它与,y,轴的交点为,A,（,0,-,）,所以,OAF,的面积为解得,a=8.,所以抛物线方程为,y2=8x
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