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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,一 问题的提出,二 积分上限函数及其导数,三 牛顿莱布尼茨公式,四 小结,五 思考、判断题,第二节 微积分基本公式,11/11/2024,1,一 问题的提出二 积分上限函数及其导数三 牛顿,考察变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一 问题的提出,（Introduction),说明 由于位置函数是速度函数的原函数,所以（1）式表示，速度函数的定积分就是其原函数在区间上的增量,11/11/2024,2,考察变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程,考察定积分,记,积分上限函数,二 积分上限函数及其导数,11/11/2024,3,考察定积分记积分上限函数二 积分上限函数及其导数9/2,积分上限函数的性质,证,11/11/2024,4,积分上限函数的性质证9/22/20234,由积分中值定理得,11/11/2024,5,由积分中值定理得9/22/20235,推论,（1）,（2）,11/11/2024,6,推论（1）（2）9/22/20236,例1 已知,求,解,11/11/2024,7,例1 已知求解9/22/20237,例,.,11/11/2024,8,例.9/22/20238,11/11/2024,9,9/22/20239,11/11/2024,10,9/22/202310,定理2（原函数存在定理）,定理的重要意义,1,）肯定了连续函数的原函数是存在的.,2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系,.,3）我们可以通过原函数来计算定积分。,11/11/2024,11,定理2（原函数存在定理）定理的重要意义1）肯定了连续函数的原,定理 3（微积分基本定理）,证,三 牛顿莱布尼茨公式,（Fundamental Theorem of Calculus),11/11/2024,12,定理 3（微积分基本定理）证三 牛顿莱布尼茨公式（F,令,令,牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式,则,则,11/11/2024,13,令令牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式则则,微积分基本公式表明：,(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分的问题.,11/11/2024,14,微积分基本公式表明：(2)求定积分问题转化为求原函数不,例2,求,例3 求,解,11/11/2024,15,例2 求 例3 求 解9/22/202315,例4 计算,解,解,例5 设,求,.,11/11/2024,16,例4 计算解解例5 设,练,练,11/11/2024,17,练练9/22/202317,例6 求,解,分析：,这是 型不定式，应用洛必达法则.,11/11/2024,18,例6 求解分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.9/,证,11/11/2024,19,证9/22/202319,11/11/2024,20,9/22/202320,解,求,例8 设,11/11/2024,21,解求例8 设,解,求,例8 设,11/11/2024,22,解求例8 设,例10 已知,求,解,由,（1）（2）,解之得,11/11/2024,23,例10 已知 求解由（1）（2）解之得9/22/20,此定积分为积分区间含参数的带有绝对值的定积分.,当,x,2,=,0,时,得,x,=2.,因此时的区间,a,b,位置没定,故它可能在被积函数的零点的两侧,也可能在零点之间,亦可能包含零点.,11/11/2024,24,此定积分为积分区间含参数的带有绝对值,11/11/2024,25,9/22/202325,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,四 小结,(sumary),牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学（不定积分与定积分）之间的关系,4.上述大部分例题都是定积分所特有的而不,定积分所没有的.,11/11/2024,26,3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数四,五 思考与判断题,（1）,（,2）求定积分可以先求不定积分，从而求出原,函数，由牛顿-莱布尼茨公式可得结果（）,11/11/2024,27,五 思考与判断题（1）（2）求定积分可以先求不定积分,
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