随机变量及分布课件

单击此处编辑母版标题样式,主要内容2学时,一、一维随机变量函数Y=g(X)的分布。,1、离散型Y=g(X)；2、连续型Y=g(X)(重点,二、二维(X,Y)函数的分布,1、离散型Z=g(X,Y)的分布,2、Z=X+Y的分布(重点,3、M=Max(X,Y)和N=Min(X,Y)的分布重点,第九节 随机变量函数的分布,问题的提出,实际中，人们经常对随机变量的函数很感兴趣.,1、圆的直径 d 的分布，求园的面积S=d 2 的分布.,例如：,2、变速直线运动质点的速度v、时间t联合分布，求,位移S=vt的分布.,归纳：1、随机变量X 的分布，Y=g(X)，求 Y 的分布？,2、设随机变量(X,Y)的联合分布，Z=g(X,Y),如何,由(X,Y)的分布求 Z的分布？,一、一维随机变量,函数Y=G(X)的分布,解：当,X,取值 1，2，5 时，,Y,取对应值,5，7，13,X=a,与,Y=2a+3,两事件同时发生,，两者具有相同的概率.,故,1、离散型Y=g(X),X,-2 -1 0 1 2,Y,2 0 0 2 6,P,0.2 0.1 0.1 0.3 0.3,Y,0 2 6,P,0.2 0.5 0.3,再对等值合并,解：设,X,，,U,的分布函数分别为,F,X,(x),F,U,(,u,),2、连续型Y=g(X),设函数,Y=g(X),严格单调(递增),Y=g(X),非严格单调时，分段单调，分段求反函数即可。,U,的概率密度,当,y,0 时,注意到,Y=X,2,0，故当,y,0时，,解：设,Y,和,X,的分布函数分别为,，,那么 Y=X2 的概率密度为：,启示：,从例3-4中看到，在求,F(y)=,P,(,Y,y,),过程中，关键就是设法,从,g,(,X,),y,中解出,X,，,从而得到与,g,(,X,),y,等价的,X,的不等式.,目的：为了利用,X,的分布，从而求出Y=g(X)的概率.,求连续型随机变量F(x)或f(x)的通用做法。,例5P63,例4 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布。求：1(略).2Y=-2lnX的概率密度.,二、二维(X,Y)函数的分布,1、离散型Z=g(X,Y),X,Y,-,1 1 2,-1,2,5/20 2/20 6/20,3/20 3/20 1/20,（X，Y）,(-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2),P,5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20,解:将(X,Y)及各函数值列表如下：,合并后可得各变量的分布律如下：,Z=X+Y,-,2 0 1 3 4,P,5/20 2/20 9/20 3/20 1/20,W=X-Y,-3 -2 0 1 3,P,6/20 2/20 6/20 3/20 3/20,M=max(X,Y),-1 1 2,P,5/20 2/20 13/20,N=min(X,Y),-1 1 2,P,16/20 3/20 1/20,设(,X，Y),的联合概率密度为,f,(,x,y,)，求,Z,=,X,+,Y,的概率密度.,分析:,Z,=,X,+,Y,的分布函数是,积分区域,D,=(,x,y,):,x+y,z,是直线,x+y,=,z,左下方半平面,2、Z=X+Y的分布(重点,F,Z,(,z,)=,P,(,Z,z,)=,P,(,X,+,Y,z,),Z,=,X,+,Y,的概率密度为,由对称性,特别:当,X,和,Y,独立时，设(,X,Y,)的边际密度为,f,X,(,x,),f,Y,(,y,),卷积公式,解:由卷积公式,解:由卷积公式,设,X,、,Y,是两相互独立的随机变量，分布函数分别为,F,X,(,x,)和,F,Y,(,y,)，求,M=,max(,X,Y,)、,N,=min(,X,Y,),的分布函数.,3、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布重点,F,M,(z),=P,(,M,z,)=,P,(,max(,X,Y,),z,),=,P,(,X,z,Y,z,),=,P,(,X,z,),P,(,Y,z,),=,F,X,(,z,),F,Y,(,z,),即,F,M,(,z,)=,F,X,(,z,),F,Y,(,z,),F,N,(z),=P,(,N,z,)=,P,(,min(,X,Y,),z,),=1-,P,(,min(,X,Y,),z,),=1,-,P,(,X,z,Y,z,),=1,-,P,(,X,z,),P,(,Y,z,),即,F,N,(z)=1-1-,F,X,(,z,)1-,F,Y,(,z,),特例:当,X,1,X,n,相互独立且具有相同分布函数,F,(,x,)时,N=,min(,X,1,X,n,)的分布函数是,M=,max(,X,1,X,n,)的分布函数为:,F,N,(,z,)=1-1-,F,(,z,),n,推广:设X1,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 (i=0,1，,n)，那么,F,M,(,z,)=,F,(,z,),n,解1串联方式：系统L的寿命 Z=min(X,Y),2并联方式：系统L的寿命 Z=max(X,Y),3备用方式：系统L的寿命 Z=X+Y,本节重点总结,一、连续型随机变量函数Y=g(X)的分布,二、二维连续型(X,Y)函数的分布,1、Z=X+Y的分布。,2、M=Max(X,Y)和N=Min(X,Y)的分布。,1、分布律、概率密度、分布函数的定义、性质及计算；,2、二项分布、均匀分布、指数分布的定义、计算；,3、利用分布律、概率密度、分布函数计算事件的概率；,4、边际分布律、边际概率密度；,4、随机变量独立的定义与性质；,5、,连续型随机变量函数的分布计算,Y=g(X)、,相互独立随机变量的和、最大最小值的分布。,本章重点总结,备选1：假设X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求Z=X+Y的概率函数.,解:,=,a,0,b,r,+,a,1,b,r,-1,+,a,r,b,0,由独立性,此即离散,卷积公式,r,=0,1,2,解一:,P,(,Y,=,n,)=,P,(max(,X,1,X,2,)=,n,),=,P,(,X,1,=,n,X,2,n,)+,P,(,X,2,=,n,X,1,n,),记1-,p,=,q,备选2：设随机变量,X,1,X,2,相互独立,并且有相同的几何分布:,P,(,X,i,=,k,)=,p,(1-,p,),k,-1,k,=1,2,(,i,=1,2)求,Y=,max(,X,1,X,2,)的分布.,n,=0,1,2,解二:,P,(,Y,=,n,)=,P,(,Y,n,),-,P,(,Y,n,-1),=,P,(max(,X,1,X,2,),n,),-,P,(max(,X,1,X,2,),n,-1),=,P,(,X,1,n,X,2,n,),-,P,(,X,1,n,-1,X,2,n,-1),n,=0,1,2,=,P,(0,X,arcsin,y,)+P(-arcsin,y,X,）,当0,y,1时,=P(0,X,arcsin,y,)+P(-arcsin,y,X,）,而,由独立性,备选8 随机变量,X,和,Y,独立，它们服从相同的分布,N,(0,1)，求,Z=X+Y,的概率密度。,