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,抓住,3,个考点,突破,3,个考向,揭秘,3,年高考,第,3,讲函数的奇偶性与周期性,【2014,年高考会这样考,】,1,判断函数的奇偶性,2,利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值,3,考查函数的单调性与奇偶性的综合应用,4,对三种性质的综合考查；借助函数图象解决问题,考点梳理,(1),如果对一切使,F,(,x,),有定义的,x,，,F,(,x,),也有定义，并且,_,成立，则称,F,(,x,),为偶函数,(2),如果对一切使,F,(,x,),有定义的,x,，,F,(,x,),也有定义，并且,_,成立，则称,F,(,x,),为奇函数,1,奇、偶函数的概念,F,(,x,),F,(,x,),F,(,x,),F,(,x,),(1),奇函数在关于原点对称的区间上的单调性,_,，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性,_,(2),在公共定义域内,两个奇函数的和是,_,，两个奇函数的积是,_,；,两个偶函数的和、积都是,_,；,一个奇函数和一个偶函数的积是,_,2,奇、偶函数的性质,相同,相反,奇函数,偶函数,偶函数,奇函数,(1),周期函数：对于函数,y,f,(,x,),，如果存在一个非零常数,T,，使得当,x,取定义域内的任何值时，都有,_,，那么就称函数,y,f,(,x,),为周期函数，称,T,为这个函数的周期,(2),最小正周期：如果在周期函数,f,(,x,),的所有周期中,_,的正数，那么这个最小正数就叫做,f,(,x,),的最小正周期,3,周期性,f,(,x,T,),f,(,x,),存在一个最小,一条规律,奇、偶函数的定义域关于原点对称,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件,两个性质,(1),若奇函数,f,(,x,),在,x,0,处有定义，则,f,(0),0.,(2),设,f,(,x,),，,g,(,x,),的定义域分别是,D,1,，,D,2,，那么在它们的公共定义域上：,奇奇奇，奇,奇偶，偶偶偶，偶,偶偶，奇,偶奇,【,助学,微博,】,三条结论,(1),若对于,R,上的任意的,x,都有,f,(2,a,x,),f,(,x,),或,f,(,x,),f,(2,a,x,),，则,y,f,(,x,),的图象关于直线,x,a,对称,(2),若对于,R,上的任意,x,都有,f,(2,a,x,),f,(,x,),，且,f,(2,b,x,),f,(,x,)(,其中,a,b,),，则：,y,f,(,x,),是以,2(,b,a,),为周期的周期函数,(3),若,f,(,x,a,),f,(,x,b,)(,a,b,),，那么函数,f,(,x,),是周期函数，其中一个周期为,T,2|,a,b,|.,A,1 B,1 C,2 D,2,解析,由于,f,(,x,),的周期为,5,，,f,(3),f,(4),f,(,2),f,(,1),又,f,(,x,),为,R,上的奇函数，,f,(,2),f,(,1),f,(2),f,(1),2,1,1,，即,f,(3),f,(4),1.,答案,A,考点自测,1,(2013,徐州模拟,),若,f,(,x,),是,R,上周期为,5,的奇函数，且满足,f,(1),1,，,f,(2),2,，则,f,(3),f,(4),(,),A,f,(,x,),|,g,(,x,)|,是偶函数,B,f,(,x,),|,g,(,x,)|,是奇函数,C,|,f,(,x,)|,g,(,x,),是偶函数,D,|,f,(,x,)|,g,(,x,),是奇函数,解析,由题知,f,(,x,),f,(,x,),，,g,(,x,),g,(,x,),，显然,f,(,x,),|,g,(,x,)|,f,(,x,),|,g,(,x,)|.,答案,A,2,(2011,广东,),设函数,f,(,x,),和,g,(,x,),分别是,R,上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是,(,),A,335 B,338 C,1 678 D,2 012,解析,由,f,(,x,6),f,(,x,),可知，函数,f,(,x,),的周期为,6,，所以,f,(,3),f,(3),1,，,f,(,2),f,(4),0,，,f,(,1),f,(5),1,，,f,(0),f,(6),0,，,f,(1),1,，,f,(2),2,，所以在一个周期内有,f,(1),f,(2),f,(6),1,2,1,0,1,0,1,，所以,f,(1),f,(2),f,(2 012),f,(1),f,(2),3351,1,2,335,338,，故选,B.,答案,B,3,(2012,山东,),定义在,R,上的函数,f,(,x,),满足,f,(,x,6),f,(,x,),当,3,x,1,时，,f,(,x,),(,x,2),2,；当,1,x,0,的,x,的取值范围：,(,1,0),(1,，,),答案,(,1,0),(1,，,),5,(2013,双桥区模拟,),设函数,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数，若当,x,(0,，,),时，,f,(,x,),lg,x,，则满足,f,(,x,)0,的,x,的取值范围是,_,【,例,1】(2013,广州模拟,),判断下列函数的奇偶性：,考向一,函数奇偶性的判断,审题视点,确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再验证,f,(,x,),f,(,x,),或其等价形式,f,(,x,),f,(,x,),0,是否成立,(3),当,x,0,，,f,(,x,),(,x,),2,x,x,2,x,f,(,x,),；,当,x,0,时，,f,(,x,),x,2,x,，,x,0,或,x,0,时，,f,(,x,),x,2,x,，则当,x,0,，,故,f,(,x,),x,2,x,f,(,x,),，,当,x,0,时，,x,0,，,故,f,(,x,),x,2,x,f,(,x,),，故原函数是偶函数,(1),求,f,(1),的值；,(2),判断,f,(,x,),的奇偶性并证明你的结论；,(3),如果,f,(4),1,，,f,(,x,1)2,，且,f,(,x,),在,(0,，,),上是增函数，求,x,的取值范围,审题视点,利用函数奇偶性的定义判断根据已知，恰当赋值，变换出符合定义的条件,解,(1),对于任意,x,1,，,x,2,D,，有,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),，,令,x,1,x,2,1,，得,f,(1),2,f,(1),，,f,(1),0.,考向二,函数奇偶性的应用,【,例,2】,函数,f,(,x,),的定义域为,D,x,|,x,0,，且满足对于任意,x,1,，,x,2,D,，有,f,(,x,1,x,2,),f,(,x,1,),f,(,x,2,),(3),依题设有,f,(44),f,(4),f,(4),2,，,由,(2),知，,f,(,x,),是偶函数,f,(,x,1)2,f,(|,x,1|),f,(16),又,f,(,x,),在,(0,，,),上是增函数,0|,x,1|16,，解之得,15,x,17,且,x,1.,x,的取值范围是,x,|,15,x,17,且,x,1,抽象函数奇偶性的判断方法,(1),利用函数奇偶性的定义，找准方向,(,想办法出现,f,(,x,),、,f,(,x,),；,(2),巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；,(3),找出,f,(,x,),与,f,(,x,),的关系，得出结论,(2),当,x,2,4,时，求,f,(,x,),的解析式；,(3),计算,f,(0),f,(1),f,(2),f,(2 013),审题视点,(1),只需证明,f,(,x,T,),f,(,x,),，即可说明,f,(,x,),是周期函数；,(2),由,f,(,x,),在,0,2,上的解析式求得,f,(,x,),在,2,0,上的解析式，进而求得,f,(,x,),在,2,4,上的解析式；,(3),由周期性求和的值,考向三,函数的奇偶性与周期性,【,例,3】,设,f,(,x,),是定义在,R,上的奇函数，且对任意实数,x,，恒有,f,(,x,2),f,(,x,),当,x,0,2,时，,f,(,x,),2,x,x,2,.,(1),求证：,f,(,x,),是周期函数；,(1),证明,f,(,x,2),f,(,x,),，,f,(,x,4),f,(,x,2),f,(,x,),f,(,x,),是周期为,4,的周期函数,(2),解,x,2,4,，,x,4,，,2,，,4,x,0,2,，,f,(4,x,),2(4,x,),(4,x,),2,x,2,6,x,8,，,又,f,(4,x,),f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),x,2,6,x,8,，,即,f,(,x,),x,2,6,x,8,，,x,2,4,(3),解,f,(0),0,，,f,(1),1,，,f,(2),0,，,f,(3),1.,又,f,(,x,),是周期为,4,的周期函数，,f,(0),f,(1),f,(2),f,(3),f,(4),f,(5),f,(6),f,(7),f,(2 008),f,(2 009),f,(2 010),f,(2 011),0.,f,(0),f,(1),f,(2),f,(2 013),f,(2 012),f,(2 013),f,(0),f,(1),1.,判断函数的周期只需证明,f,(,x,T,),f,(,x,)(,T,0),便可证明函数是周期函数，且周期为,T,，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题,A,2 B,2 C,98 D,98,解析,f,(,x,4),f,(,x,),，,f,(,x,),是周期为,4,的函数，,f,(7),f,(24,1),f,(,1),，又,f,(,x,),在,R,上是奇函数，,f,(,x,),f,(,x,),，,f,(,1),f,(1),，而当,x,(0,2),时，,f,(,x,),2,x,2,，,f,(1),21,2,2,，,f,(7),f,(,1),f,(1),2,，故选,A.,答案,A,【,训练,3】(2013,成都质检,),已知,f,(,x,),在,R,上是奇函数，且满足,f,(,x,4),f,(,x,),，当,x,(0,2),时，,f,(,x,),2,x,2,，则,f,(7),等于,(,),【,命题研究,】,通过对近三年高考试题的分析可以看出，考查函数的性质往往不是单纯考查一个性质，而是综合考查，所以需要对函数的各个性质非常熟悉，并能结合函数图象的特点，对各个性质进行综合运用常考题型有选择题、填空题，题目为中档难度,热点突破,4,函数单调性、奇偶性、周期性的交汇问题,【,真题探究,1】(2012,陕西,),下列函数中，既是奇函数又是增函数的为,(,),教你审题,先确定奇函数，再确定函数单调递增,解法,选项,A,为一次函数，不是奇函数，是增函数；选项,B,是奇函数，不是增函数；选项,C,是反比例函数，为奇函数，不是增函数；选项,D,，去绝对值号，变为分段函数，符合题意,答案,D,反思,通过题目的反复练习，熟练掌握函数奇偶性的判断方法及函数单调性的判断方法,【,试一试,1】(2012,天津,),下列函数中，既是偶函数，又在区间,(1,2),内是增函数的为,(,),答案,B,答案,A,
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