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单击此处编辑母版文本样式,返回导航,高考总复习,数学,(,文,),第七章立体几何,立体几何,第 七 章,第,38,讲空间点、直线、平面之间的位置关系,考纲要求,考情分析,命题趋势,理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理,.,2017,全国卷,，,6,2016,北京卷，,6,2016,浙江卷，,2,空间点、线、面的位置关系以位置关系的判断为主要考查点，同时也考查逻辑推理能力和空间想象能力,.,分值：,5,分,板 块 一,板 块 二,板 块 三,栏目导航,1平面的根本性质,(1)公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内,(2)公理2：过_的三点，有且只有一个平面,(3)公理3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,两点,不在一条直线上,一个,(4),公理,2,的三个推论,推论,1,：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面,推论,2,：经过两条,_,直线有且只有一个平面,推论,3,：经过两条,_,直线有且只有一个平面,相交,平行,平行,相交,任何,(2),异面直线所成的角,定义：设,a,，,b,是两条异面直线，经过空间任一点,O,作直线,a,a,，,b,b,，把,a,与,b,所成的,_,叫做异面直线,a,与,b,所成的角,(,或夹角,),范围：,_.,(3),平行公理：平行于,_,的两条直线互相平行,(4),定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角,_.,锐角,(,或直角,),同一条直线,相等或互补,3,直线与平面、平面与平面之间的位置关系,(1),直线与平面的位置关系有,_,、,_,、,_,三种情况,(2),平面与平面的位置关系有,_,、,_,两种情况,相交,平行,在平面内,平行,相交,1思维辨析(在括号内打“或“),(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个局部(),(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于点A，并记作A.(),(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(),(4)a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线(),(5)没有公共点的两条直线是异面直线(),解析(1)错误当两个平面平行时，把空间分成三个局部,(2)错误由公理3知应交于过点A的一条直线,(3)错误应相交于直线BC，而非线段,(4)正确因为假设cb，那么由可得ab，这与矛盾,(5)错误异面或平行,2假设空间三条直线a，b，c满足ab，bc，那么直线a与c(),A一定平行B一定相交,C一定是异面直线D一定垂直,解析因为bc，ab，所以ac，即a与c垂直,D,3以下命题正确的个数为(),经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；,两两相交的三条直线最多可以确定三个平面,A0B1C2D3,解析错误，正确,C,4直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，那么直线b和c的位置关系是(),A相交或平行B相交或异面,C平行或异面D相交、平行或异面,解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,D,5如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，那么异面直线B1C与EF所成的角的大小为_.,解析连接B1D1，D1C，那么B1D1EF，故D1B1C为所求，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.,60,用平面的根本性质证明共点、共线、共面的方法,(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的局部线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两局部，然后分别确定平面，再证两平面重合,(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上,(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点,一平面的根本性质及应用,【例1】以下四个命题中，正确命题的个数是(),不共面的四点中，其中任意三点不共线；,假设点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，那么A，B，C，D，E共面；,假设直线a，b共面，直线a，c共面，那么直线b，c共面；,依次首尾相接的四条线段必共面,A0B1C2D3,解析显然是正确的，可用反证法证明；中假设A，B，C三点共线，那么A，B，C，D，E五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面故只有正确应选B,B,(2),由,(1),知,FH,与直线,AC,不平行，但共面，,设,FH,AC,M,，,M,平面,EFHG,，,M,平面,ABC,.,又,平面,EFHG,平面,ABC,EG,，,M,EG,.,FH,，,EG,，,AC,共点,二空间两条直线的位置关系,判断空间两条直线的位置关系的方法,(1),异面直线，可采用直接法或反证法,(2),平行直线，可利用三角形,(,梯形,),中位线的性质、公理,4,及线面平行与面面平行的性质定理,(3),垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决,【例3】如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点问：,(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；,(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由,三两条异面直线所成的角,两异面直线所成角的作法及求解步骤,(1),找异面直线所成的角的三种方法：,利用图中已有的平行线平移；,利用特殊点,(,线段的端点或中点,),作平行线平移；,补形平移,(2),求异面直线所成的角的三个步骤：,作：通过作平行线，得到相交直线；,证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角；,算：通过解三角形，求出该角,【例4】正方体ABCDA1B1C1D1.,(1)求AC与A1D所成角的大小；,(2)假设E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小,解析(1)如下图，连接B1C.,由ABCDA1B1C1D1是正方体，,易知A1DB1C，从而B1CA(或其补角)就是AC与A1D所成的角,AB1ACB1C，,B1CA60，,即A1D与AC所成的角为60.,(2)如下图，连接AC，BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，,ACBD，ACA1C1.,E，F分别为AB，AD的中点，,EFBD.EFAC.,EFA1C1，,即A1C1与EF所成的角为90.,1以下命题中正确的个数是(),过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；,异面直线a，b在平面内的射影相互垂直，那么ab；,底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；,直线a，b分别在平面，内，且ab，那么.,A0B1C2D3,A,解析对于，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面，故错误；对于，在如图1所示的三棱锥PABC中，PB平面ABC，BABC，满足PA，PC两边在底面的射影相互垂直，但PA与PC不垂直，故错误；对于，在如图2所示的三棱锥PABC中，ABBCACPA2，PBPC3，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥PABC不是正三棱锥，故错误；对于，直线a，b分别在平面，内，且ab，那么，可以平行，故错误所以正确命题的个数为0.应选A,D,3两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是(),A两条相交直线B两条平行直线,C两个点D一条直线和直线外一点,解析如图，在正方体ABCDEFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点应选C,C,错因分析：考虑问题不全面，忽略元素可能存在的多种情况，导致丢解如本例中易忽略交点,S,在两平面之间还是两平面外侧，导致丢解,易错点考虑问题不全面,【例1】设平面，满足，A，C，B，D，直线AB与CD交于点S，假设SA18，SB9，CD34，求SC的长度,【跟踪训练1】在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，那么在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线(),A不存在B有且只有两条,C有且只有三条D有无数条,解析在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条与直线A1B1，EF，BC都相交,D,
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