24章命题与证明复习

,*,第24章：证明（一）,义务教育课程标准实验教科书,八年级 下,册,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,0 1 2 3 4 5 6 7 8,0 1 2 3 4 5,0 1 2 3 4 5,第,24,章 回顾与思考,直观是把“,双刃剑,”,直观是重要的,但它有时也会骗人,你还能找到这样的例子吗,?,回顾与思考,a,b,c,d,a,b,a,b,每个命题都由,条件,和,结论,两部分组成,.,条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项,.,一般地,命题可以写成,“,如果,那么,”,的形式,其中,“,如果,”,引出的部分是,条件,“,那么,”,引出的部分是,结论,.,正确的命题称为,真命题,不正确的的命题称为,假命题,要说明一个命题是,假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为,反例,定义,:,对名称和术语的含义加以描述,作出明确,的规定,也就是给出它们的,定义,.,命题,:,判断一件事情的句子,叫做,命题,回顾与思考,知多少,公理,:,经探索实践公认的真命题称为公理,(axiom).,定理,:,经过证明的真命题称为定理,(theorem).,本套教材选用如下命题作为公理,:,1.,两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行,;,2.,两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,;,3.,两边及夹角对应相等的两个三角形全等,;SAS,4.,两角及其夹边对应相等的两个三角形全等,;ASA,5.,三边对应相等的两个三角形全等,;SSS,6.,全等三角形的对应边相等,对应角相等,.,7.,等式的关性质,和,不等式的性质,-,公理,回顾与思考,知多少,平行线的判定,公理,:,同位角相等,两直线平行,.,1=2,ab.,判定,定理,1,:,内错角相等,两直线平行,.,1=2,ab.,判定,定理,2,:,同旁内角互补,两直线平行,.,1+2=180,0,ab.,a,b,c,2,1,a,b,c,1,2,a,b,c,1,2,几何的,三种语言,公理,:,两直线平行,同位角相等,.,ab,1=2.,性质定理,1:,两直线平行,内错角相等,.,ab,1=2.,性质定理,2:,两直线平行,同旁内角互补,.,ab,1+2=180,0,.,a,b,c,2,1,a,b,c,1,2,a,b,c,1,2,几何的,三种语言,平行线的性质,三角形内角和定理,三角形内角和定理,三角形三个内角的和等于,180,0,.,ABC,中,A+B+C=,180,0,.,A+B+C=,180,0,的几种变形,:,A=,180,0,(B+C).,B=,180,0,(A+C).,C=,180,0,(A+B).,A+B=,180,0,-,C.,B+C=,180,0,-,A.,A+C=,180,0,-,B.,这里的结论,以后可以直接运用,.,A,B,C,回顾与思考,关注三角形的外角,三角形内角和定理的推论,:,推论,1:,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,.,推论,2:,三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,.,推论,3:,直角三角形的两锐角互余,.,ABC中,:,1=2+3;,12,13.,A,B,C,D,1,2,3,4,这个结论以后可以直接运用,.,几何的,三种语言,证明一个命题的一般步骤,:,(1),弄清题设和结论,;,(2),根据题意画出相应的图形,;,(3),根据题设和结论写出已知,求证,;,(4),分析证明思路,写出证明过程,.,胜者,的“,钥匙,”,回顾与思考,“,行家,”看“,门道,”,如图,：,1,是,ABC,的一个外角,1,与图中的,其它角有什么关系,?,1+4=,180,0,;,12;,13;,1=2+3.,证明,:,2+3+4=,180,0,(,三角形内角和定理,),1+4=,180,0,(,平角的意义,),1=2+3,.(,等量代换,).,12,13(,和大于部分,).,探索思考,A,B,C,D,1,2,3,4,能证明你的结论吗,?,用,文字表述为,:,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,.,三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,.,内涵与外延,在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理,.,像这样,由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的,推论,.,推论可以当作定理使用,.,三角形内角和定理的推论,:,推论,1:,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,.,推论,2:,三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,.,关注,外角,A,B,C,D,1,2,3,4,“,行家,”看“,门道,”,例,1,已知,:,如图,6-13,在,ABC,中,AD,平分外角,EAC,B=C.,求证,:ADBC.,证明,:,EAC=B+C(,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,),例题欣赏,ADBC(,内错角相等,两直线平行,).,B=C(,已知,),DAC=C(,等量代换,).,A,C,D,B,E,分析,:,要证明,ADBC,只需要证明,“,同位角相等,”,“,内错角相等,”,或,“,同旁内角互补,”,.,AD,平分,EAC(,已知,).,C=EAC(,等式性质,).,DAC=EAC(,角平分线的定义,).,例题是运用了定理,“,内错角相等,两直线平行,”,得到了证实,.,例,2,已知,:,如图,6-14,在,ABC,中,1,是它的一个外角,E,为边,AC,上一点,延长,BC,到,D,连接,DE.,求证,:12.,证明,:,1,是,ABC,的一个外角,(,已知,),把你,所,悟到的证明一个真命题的,方法,步骤,书写格式,以及,注意事项,内化为,一种方法,.,13(,三角形的一个外角大于,任何一个和它不相邻的内角,).,3,是,CDE,的一个外角,(,外角定义,).,32(,三角形的一个外角大于任,何一个和 它不相邻的内角,).,12(,不等式的性质,).,C,A,B,F,1,3,4,5,E,D,2,例题欣赏,“,行家,”看“,门道,”,我能行,已知,:,如图所示,在,ABC,中,外角,DCA=100,A=45,.,求：,B,和,ACB,的大小,.,A,B,C,D,解,:,DCA,是,ABC,的一个外角,(,已知,),DCA=100,(,已知,),B=,100-45,=,55.(,三角形的一个外角等,于和它不相邻的两个内角的和,).,又,DCA+BCA=180,(,平角意义,).,ACB=,80,(,等式的性质,).,A=45,(,已知,),例题欣赏,你认识外角吗,?,已知,:,国旗上的正五角星形如图所示,.,求,:A+B+C+D+E,的度数,.,解,:1,是,BDF,的一个外角,(,外角的意义,),分析,:,设法利用,外角,把这五个角,“,凑,”,到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解,.,1=,B+D(,三角形的一个外角等于,和它不相邻的两个内角的和,),2=,C+E(,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,),又,A+1+2,=1,80,(,三角形内角和定理,),又,2,是,EHC,的一个外角,(,外角的意义,),A,B,C,D,E,F,1,H,2,A+B+C+D+E,=1,80,(,等式性质,),例题欣赏,你认识外角吗,?,试一试,证明,(1):BDC,是,DCE,的一个外角,(,外角意义,),BDCCED,(,三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角,).,DECA,(,三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角,).,BDC,A,(,不等式的性质,).,DEC,是,ABE,的一个外角,(,外角意义,),已知,:,如图所示,.,求证,:(,1),BDCA;,(2)BDC=A+B+C.,B,C,A,D,E,你认识外角吗,?,已知,:,如图所示,.,求证,:(,1),BDCA;,(2)BDC=A+B+C.,试一试,证明,(2):BDC,是,DCE,的一个外角,(,外角意义,),BDC,=,C+CED,(,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,).,DEC=A+B,(,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和,).,BDC=,A+B+C,(,等式的性质,).,DEC,是,ABE,的一个外角,(,外角意义,),B,C,A,D,E,回味无穷,理解几何命题证明的,方法,步骤,格式,及,注意事项,.,三角形内角和定理,三角形三个内角的和等于,180,0,.,ABC,中,A+B+C=,180,0,.,推论,1:,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,.,推论,2:,三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,.,关注,三角形的,外角,.,推论,3:,直角三角形的两锐角互余,.,你准备如何提高证明命题的能力呢,?,小结 拓展,2+4=180,0,(,两直线平行，同旁内角互补,),2,.,已知：如图，直线,a,b,被 直线,c,所截，,ab.,求证：,1+2=,180,0,.,b,a,c,2,1,2,题图,证明,1:,ab(,已知,),2=3(,两直线平行，内错角相等,),3,又,1+3=180,0,(,平角意义,),1+2=180,0,(,等量代换,),证明,2:,ab(,已知,),1=4(,对顶角相等,),1+2=180,0,(,等量代换,).,4,“,行家,”看“,门道,”,3.,已知,:,如图，,1+2=,180,0,.,求证,:3=4.,分析,:,要证明,3=4,，只要证明,CDEF,；,而由,1+2=,180,0,，可得,1+5=,180,0,.,从而可得,CDEF,4,1,2,3,O,C,E,A,B,F,D,3,题图,证明,:,1+2=,180,0,(,已知,),，,5,5=2(,对顶角相等,),，,1+5=,180,0,(,等量代换,).,CDEF,(,同旁内角互补，两直线平行,).,3=4(,两直线平行，同位角相等,).,“,行家,”看“,门道,”,几何的,三种语言,定理,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等,.,老师提示,:,这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一,.,开启 智慧,A,C,B,P,M,N,如图,AC=BC,MNAB,P,是,MN,上任意一点,(,已知,),PA=PB(,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等,).,驶向,胜利的彼岸,逆定理,我能行,1,逆定理,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上,.,A,C,B,P,M,N,如图,PA=PB(,已知,),点,P,在,AB,的垂直平分线上,(,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上,).,老师提示,:,这个结论是经常用来证明,点在直线上,(,或,直线经过,某一,点,),的根据之一,.,从这个结果出发,你还能联想到什么,?,驶向,胜利的彼岸,尺规,作图,做一做,1,已知,:,线段,AB,如图,.,求作,:,线段,AB,的垂直平分线,.,作法,:,用尺规作线段的垂直平分线,.,1.,分别以点,A,和,B,为圆心,以大于,AB/2,长为半径作弧,两弧交于点,C,和,D.,A,B,C,D,2.,作直线,CD.,则,直线,CD,就是线段,AB,的垂直平分线,.,请你说明,CD,为什么是,AB,的垂直平分线,并与同伴进行交流,.,老师提示,:,因为直线,CD,与线段,AB,的交点就是,AB,的中点,所以我们也用这种方法作线段的,中点,.,挑战自我,随堂练习,1,驶向,胜利的彼岸,如图,已知,AB,是,线段,CD,的,垂直平分线,E,是,AB,上的,一点,如果,EC=7cm,那么,ED=,cm;,如果,ECD=60,0,那么,EDC=,0,.,老师期望,:,你能说出填空结果的根据,.,E,D,A,B,C,7,60,习题,独立作业,2,驶向,胜利的彼岸,2.,如图,A,B,表示两个仓库,要在,A,B,一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建造在什么位置？,老师期望,:,养成用数学解释生活的习