04 第二章误差的基本性质与处理 01 (2)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第二章 误差的基本性质与处理,第一节 随机误差,第二节 系统误差,第三节 粗大误差,第四节 测量结果的数据处理实例,2,第一节 随机误差,一,、随机误差产生的原因,二、随机误差的分布及其特性,三、算术平均值,四、测量的标准差,五、测量的极限误差,六、不等精度测量,七、随机误差的其他分布,3,任何测量均存在误差,研究误差性质 找出解决方法 提高测量精度,一,.,随机误差的产生原因,误差的出现没有确定的规律,1.,测量装置的因素,2.,环境的因素,3.,人为因素,第一节 随机误差,零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。,温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。,瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。,4,1.,对称性,：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数相等。,2.,单峰性,：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多。,3.,有界性,：随机误差的绝对值不会超过一定界限。,4.,抵偿性,：随机误差的算术平均值趋向于零。,多数随机误差均服从正态分布。,设被测量的真值为 ，一系列测量值为 ，则测量值序列,中的随机误差 为：,正态分布的,分布密度,为：,随机误差的几个主要特征：,二,.,正态分布,5,分布函数,：,式中：,标准差（或均方根误差）。,它的,数学期望,为：,它的,方差,为：,其,平均误差,为：,此外由定义：,或然误差,：,正态分布,分布密度,6,值为曲线上拐点,A,的横坐标,值为曲线右半部面积重心,B,的横坐标,值的纵坐标线则平分曲线右半部面积,正态分布,7,三,.,算术平均值,设 为,n,次测量所得的值，则算术平均值 为：,若测量中,不包含系统误差和粗大误差,，则算术平均值 必然趋近于真值 。,8,当 时，有 ，所以,一般情况下，未知，故不能按上式求的随机误差，这时常,用算术平均值代替被测量的真值进行计算，则有：,式中：,第 个测得值，,1,，,2,，,，,n;,的,残余误差,（简称残差）。,随机误差：,算术平均值的计算校核,9,正态分布的随机误差分布密度,标准差 不是测量列中任何一个具体测得值的随机误差，的大小只说明在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。,在等精度测量列中，单次测量的标准误差按下式计算：,1.,单次测量的标准差,式中：,测量次数；,测得值与被测量的真值之差。,四,.,测量的标准差,标准偏差均方根误差,10,当被测量的真值为未知时，不能用上式求得标准差,。实际上，在有限次测量情况下，可用残余误差 代替误差，而得到标准差的估计值。,由 可得：,定义：，称为算术平均值的误差,11,两边平方后再求和得：,由于,当 取适当大时，趋于零，可得：,12,由,代入上式可得：,（,Bessel,公式）,与 相比较,?,13,根据,Bessel,公式可由残余误差求得单次测量的标准差的估计值。,或然误差：,平均误差：,标准偏差：,14,2.,测量列,算术平均值的标准差,在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，每一系列测量都有一个算术平均值，由于随机误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同。,算术平均值：,15,取方差：,因为：,定义：,16,结论：在,n,次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为,单次测量标准差的 。,增加测量次数，可以提高测量精度。,3.,标准差的其他计算方法,（,1,）,Peters,公式,（,2,）极差法,（,3,）最大误差法,17,五,.,测量的极限误差,测量结果的误差不超过极限误差的概率为,P,，而差值（,1,P,）可以忽略。,1.,单次测量的极限误差,前提：,（,1,）测量列的测量次数足够多；,（,2,）单次测量误差为正态分布,随机误差正态分布曲线下的全部面积相当于全部误差出现的概率，即：,18,而随机误差在 至 范围内的概率为：,作变量替换：,（概率积分）,19,若某随机误差在 范围内出现的概率为 ，则超出的概,率为：。,20,单次测量的极限误差定义：,当,t,3,时，对应的概率,P,99.73,；,t,2,时，对应的概率,P,95.44,；,t,1,时，对应的概率,P,68.26,；,其中，,t,：置信系数；,P:,置信概率或置信水平。,极限误差可以人为选定，对应于不同的置信水平。,21,2.,算术平均值的极限误差,t,：置信系数；算术平均值的标准差。,当测量列的测量次数较多时，正态分布时，,t,3,；,当测量列的测量次数较少时，按学生分布计算极限误差：,式中：置信系数；,置信概率：，其中 为超出极限误差的概率；,自由度：，其中 为测量列中的测量次数；,为 次测量的算术平均值标准差。,是人为选定的，例如选 ，则意味着置信概率为,P,1,0.01,99,；选定 ，计算出自由度 ，可查表找出 ，,则可给出极限误差 。,22,例,2-9,对某量进行,6,次测量，测得数据如下：,802.40,，,802.50,，,802.38,，,802.48,，,802.42,，,802.46,。求算术平均值及其极限误差。,解：算术平均值,标准差,23,n=6,，按,t,分布计算算术平均值的极限误差,:,自由度 ，取 ，则由附录表,3,查得：,，则有：,若按正态分布计算，取 ，相应的置信概率：,，由附录表,1,查得,t,2.60,，则算术平均值的极限误差为：,24,六,.,不等精度测量,定义：在不同的测量条件下，,用不同的仪器，,不同的测量方法，,不同的测量次数，,不同的测量者，,进行测量与对比,不等精度测量。,两种常见的情况：,思考：如何求得最后的测量结果和精度？,第二种：用不同精度的仪器进行对比测量,。,第一种,:,用不同测量次数进行对比测量,。例如，用同一台仪器,测量某一参数，先后用 和 次进行测量，分别求得算术平均值,和 。因为 ，所以 和 的精度不一样。,25,1.,权的概念,等精度测量中，各个测量值可认为同样可靠，并取所有测得值的算术平均值为最后结果。,不等精度测量中，各个测量结果的可靠程度不一样，可靠程度大的测量结果在最后结果中占的比重大一些，可靠程度小的占比重小。,各个测量结果的可靠程度可用一数值表示，该数值就称为该测量结果的权，记为 。,26,2.,权的确定方法,可以按测量条件的优劣，,测量仪器的精度高低，,测量方法的好坏，,重复测量次数的多少，,测量者水平的高低，,权？,最简单确定权的方法：按测量的次数确定权。,前提：测量条件和测量水平皆相同。,重复测量的次数愈多，其可靠程度就愈大，即：。,假定同一个被测量有,m,组不等精度的测量结果，单次测量精度相,同而测量次数不同。,因为单次测量精度均相同，其标准差均为,，,则各组算术平均值的标准差为：，,27,结论：每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比。,例,2-10,对一级钢卷尺的长度进行了三组不等精度测量，其结果为,各组的权,28,3.,加权算术平均值,若对同一被测量进行,m,组不等精度测量，得到,m,个测量结果,。设相应的测量次数为 ，即：,29,根据等精度测量算术平均值原理可得：,加权算术平均值,若各组的权相等，即 时，,30,4.,单位权概念,将权数不同的不等精度测量列转化为具有单位权的等精度测量列,单位权化,。,用等精度测量的计算公式来处理不等精度测量结果。,取方差：,证明：设,由于测得值的方差 的权数为,1,，故特称等于,1,的权为单位权。,若将不等精度测量的各组测量结果 皆乘以自身权数的平方根,，此时得到的新值 的权数就为,1,。,（当 时）,31,因为：,用这种方法可将不等精度的各组测量结果皆进行单位权化，使该测量列转化为等精度测量列。,取方差：,32,全部,(,个,),测得值的算术平均值 的标准差为：,当各组测量结果的标准差为未知时，必须由各测量结果的残余误差来计算加权算术平均值的标准差。,5.,加权算术平均值的标准差,对同一被测量进行,m,组不等精度测量，得到,m,个测量结果,已知单位权测得值的标准差 ，则：,33,用 代替 代入等精度测量的公式得：,加权算术平均值的标准差：,等精度测量列的残余误差,等精度测量列的测量结果,已知各组测量结果的残余误差为：，,将各组 单位权化得：,加权单次测量的标准差：,34,作业：,2-5,、,2-7,9,月,18,日交,