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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,10.2,简单的一阶和二阶常系数线性差分方程的解法,一、齐次方程的通解,二、非齐次方程的特解与通解,三、二阶常系数齐次线性差分方程的解法,10.2 简单的一阶和二阶常系数线性差分方程的解法一、,一、齐次方程的通解,一阶常系数线性差分方程一般形式为,一、齐次方程的通解一阶常系数线性差分方程一般形式为,这是等比数列所满足的关系式,由等比数列通项公式,可以得到,方程,变形后改写为,从而得到方程 的通解,这是等比数列所满足的关系式,由等比数列通项公式可以得到方程,有,二、非齐次方程的特解与通解,于是,要使方程恒等,则应设,则方程 为,代入方程,有二、非齐次方程的特解与通解于是,要使方程恒等,则应设则,代入方程后,比较同幂次系数,可以解代数方程确定待定系数,.,要使方程恒等,则应设,代入方程,比较同幂次系数,代入方程后,比较同幂次系数,可以解代数方程确定待定系数.要使,例,1,解,代入原方程,有,比较系数得,所以,所给方程通解为,例1解代入原方程,有比较系数得所以所给方程通解为,例,2,解,代入原方程,有,比较系数得,所以得,从而所给方程的通解为,例2解代入原方程,有比较系数得所以得从而所给方程的通解为,为,代入方程有,于是,从而得到,代入方程,这时方程,为代入方程有于是,从而得到代入方程,这时方程,从而得到,代入方程,于是方程 的特解为,于是方程 的特解为,从而得到代入方程 ,于是方程,综上讨论,于是方程 的通解可表示为,综上讨论,于是方程 的通解可表示,例,3,解,代入方程,有,从而解得,所给方程的通解为,例3解代入方程,有从而解得所给方程的通解为,于是所给方程满足条件的特解为,于是所给方程满足条件的特解为,求解非齐次线性方程 的通解，除了利用线性方程解的结构定理，通过分别求出对应齐次方程通解和非齐次方程一个特解的方法实现外，还可以直接用迭代法计算，这时将方程 改写成迭代方程形式,求解非齐次线性方程,则有,一般地,由数学归纳法可证,则有一般地,由数学归纳法可证,其中,为方程 的特解,其中为方程 的特解,例,4,解,有,所以，所给方程的通解为,例4解有所以，所给方程的通解为,一阶常系数线性差分方程课件,三、二阶常系数齐次线性差分方 程的解法,二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式为,特征方程的解称为特征根或特征值,.,方程 称为方程 的特征方程,三、二阶常系数齐次线性差分方,1.,特征方程有两个相异实根,方程 有两个相异实根,于是方程 有两个特解,根据二次代数方程 解的三种情况，可以仿照二阶常系数齐次线性微分方程，分别给出方程 的通解,.,1.特征方程有两个相异实根方程,且由,从而得到方程 的通解,且由从而得到方程 的通解,例,1,解,特征方程为,解得两个相异实根,于是,所给方程的通解为,例1解特征方程为解得两个相异实根于是,所给方程的通解为,2.,特征方程有二重根,于是方程 有一个特解,方程 有二重根,可验证方程 有另一特解,2.特征方程有二重根于是方程,且由,从而得到方程 的通解,且由从而得到方程 的通解,例,2,解,特征方程为,解得特征根为,于是,所给方程的通解为,例2解特征方程为解得特征根为于是,所给方程的通解为,3.,特征方程有两个共轭复根,通过直接验证可知,其中,方程 有两个共轭复根,方程 有两个特解,3.特征方程有两个共轭复根通过直接验证可知,其中方程,所给方程 的通解可表示为,所给方程 的通解可表示为,例,3,解,特征方程为,解得特征根,因此,所给方程的通解为,例3解特征方程为解得特征根因此所给方程的通解为,
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