特征值与特征向量课件

,数,=,=,线,性,代,5.2 特征值与特征向量,定义7,设,A,为,n,阶方阵,若存在数,和非零的,n,维列向量,x,使得,A,x,=,x,(5.5),则称数,为矩阵,A,的,特征值,称,x,为矩阵,A,对应于特征值,的,特征向量.,设,x,是对应于特征值,的特征向量,由于,A(,kx),=,k,(Ax)=,k,(,x,),=,(,kx,),k,0,所以,kx,也是,A,的对应于特征值,的特征向量.这说明特征向量不是被特征值唯一决定的.但是,特征值是被特征向量唯一决定的.因此一个特征向量只属于一个特征值.,5.2 特征值与特征向量定义7设A为n阶方阵,若存在,(5.5)也可以写成,(,A-I),x,=0 (5.6),这是一个含,n,个未知量的齐次线性方程组.根据定义7,A,的特征值就是使(5.6)有非零解的,而方程(5.6)有非零解的充要条件是,|,A-I|=0 (5.7),方程(5.7)的右端|,A-I|,为,的多项式,因此,A,的特征值就是该多项式的根.此多项式称为,A,的,特征多项式,.,0,是方阵,A,的特征值,则由,(,A-,0,I),x,=0,可求得非零解,x,=P,0,P,0,就是,A,的对应于特征值,0,的一个特征向量.,综上所述,求矩阵,A,的特征值及特征向量的步骤如下:,第一步 计算特征多项式|,A-I|;,第二步 求出特征多项式|,A-I|,的的全部根,即,A,的全部特 征值.,第三步 对于,A,的每个特征值,0,求出齐次线性方程组(,A-,0,I),x,=0,的一个基础解系.,(5.5)也可以写成 (A-,特征值与特征向量课件,特征值与特征向量课件,定理3,定理3,(2)由于,推论,n,阶方阵,A,可逆的充要条件是,A,的,n,个特征值非零.,(2)由于推论n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值,特征值与特征向量课件,特征值与特征向量课件,特征值与特征向量课件,特征值与特征向量课件,特征值与特征向量课件,特征值与特征向量课件,注:,注:,例,11,设,A,是奇数阶实矩阵，,证,例11 设A是奇数阶实矩阵，证,思考题：,思考题：,特征值与特征向量课件,