材料力学6弯曲变形课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,弯 曲 变 形,第 六 章,目录,/,弯 曲 变 形第 六 章目录/,1,第六章 弯曲变形,6-1 工程中的弯曲变形问题,6-2 挠曲线的微分方程,6-3 用积分法求弯曲变形,6-4 用叠加法求弯曲变形,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,6-5 简单超静定梁,目录,目录,/,第六章 弯曲变形6-1 工程中的弯曲变形问题6-2 挠,2,为保证构件正常的工作，不但要求其具有足够的强度，在某些情况下，还应有足够的刚度，即弯曲变形不应过大，否则，将影响正常工作。,l,6-1 工程中的弯曲变形问题,/,为保证构件正常的工作，不但要求其具有足够的强度，,3,轴变形,齿轮不能正常啮合、齿面磨损、轴与轴承配合不好，出现噪音。,P,1,P,2,轧辊,钢板,轧钢,轧辊变形，钢板沿宽度方向的厚度不均。,齿轮轴,/,轴变形齿轮不能正常啮合、齿面磨损、轴与轴承配合不好，出现,4,利用弯曲变形,缓冲、减震,汽车叠板弹簧,求解静不定梁则必须考虑梁的变形。,F,测力矩扳手,/,利用弯曲变形缓冲、减震汽车叠板弹簧求解静不定梁则必须考虑梁的,5,6-2 挠曲线的微分方程,1.基本概念,挠曲线,挠度,转角,(3)转角,：,截面绕中性轴转过的角度,称为,转角,。,7-2,目录,（1）,挠曲线：,弯曲后的梁轴线。（弹性曲线）,对于平面弯曲，梁轴线在该平面内弯成一条平面曲线。,（2）挠度：,某截面的形心在垂直于原轴线方向的位移为截面的,挠度,w,。,（截面形心的挠度）,/,6-2 挠曲线的微分方程1.基本概念挠曲线挠度转角(3)转,6,6-2 挠曲线的微分方程,挠曲线方程：,由于小变形，截面形心在,x,方向的位移忽略不计,挠度转角关系为：,挠曲线,挠度,转角,向上为正,逆时针为正,7-2,目录,讨论变形的关键在于：建立梁的挠曲线方程。,/,6-2 挠曲线的微分方程挠曲线方程：由于小变形，截面形心在,7,2.挠曲线的近似微分方程,推导弯曲正应力时，得到：,忽略剪力对变形的影响,6-2 挠曲线的微分方程,目录,/,2.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变,8,由数学知识可知：,略去高阶小量，得,所以,6-2 挠曲线的微分方程,目录,/,由数学知识可知：略去高阶小量，得所以6-2 挠曲线的微分方,9,由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。,6-2 挠曲线的微分方程,目录,/,由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数,10,6-3 用积分法求弯曲变形,挠曲线的近似微分方程为：,积分一次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：,7-3,目录,微分方程的原函数有无数个，而具体梁受力变形后挠曲线只有一个。,每段梁有,C、D,两个,积分常数。,/,6-3 用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程为：积分一次,11,积分常数,C、D,由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,弹簧变形,目录,/,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定,12,例1,求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的,EI,已知。,解,1）由梁的整体平衡分析可得：,2）写出,x,截面的弯矩方程,3）列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次,A,B,F,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,/,例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁,13,4）由位移边界条件确定积分常数,代入求解,5）确定转角方程和挠度方程,6）确定最大转角和最大挠度,A,B,F,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,/,4）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠度,14,例2,求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的,EI,已知，,l=a+b,，,ab,。,解,1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC,段：,CB,段：,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,/,例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁,15,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC,段：,CB,段：,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,积分时，将（,x,2,-a,）,作为一个整体变量，可简化运算！,/,3）列挠曲线近似微分方程并积分AC 段：CB 段：6-3,16,4）由边界条件确定积分常数,代入求解，得,位移边界条件,光滑连续条件,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,/,4）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条,17,5）确定转角方程和挠度方程,AC,段：,CB,段：,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,/,5）确定转角方程和挠度方程AC 段：CB 段：6-3 用积,18,6）确定最大转角和最大挠度,令 得，,令 得，,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,/,6）确定最大转角和最大挠度令 得，令,19,讨 论,积分法求变形有什么优缺点？,6-3 用积分法求弯曲变形,目录,注意:,等截面梁，,EI,为常量，可将其写在等号左边减少麻烦；,变截面梁，,EI,为,x,的函数，故不但要将其写在等号右边，还要将其放进积分符号内。,/,讨 论积分法求变形有什么优缺点？6-3 用积分法求弯,20,但在工程实际中，往往需要某些指定截面的挠度和转角，这时采用积分法就显得繁琐。利用积分法的结果（查表,6.1,）采用叠加法就非常方便。,积分法是求梁位移的基本方法，其优点是可以用数学的方法求梁任意截面的挠度和转角。,/,但在工程实际中，往往需要某些指定截面的挠度和转,21,材料力学讨论的是线弹性小变形，反力、内力、应力、变形都是载荷的线性齐次函数，所以在计算反力、内力、应力、变形等都可以应用叠加法。,叠加法：,几个载荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各载荷单独作用时所引起的该物理量的总和（代数和或矢量和）。,6-4 用叠加法求弯曲变形,/,材料力学讨论的是线弹性小变形，反力、内力、应力、,22,在使用叠加法时应注意:,6-4 用叠加法求弯曲变形,1.勿舍简就繁,已知,w,max,max,不必通过,w(x),来求；,2.根据实际题目作代换，不能照搬公式；,3.给定载荷与图中载荷的方向若相反，应代负值；,4.当挠曲线方程为分段函数时，应注意每段函数的适用范围。,/,在使用叠加法时应注意:6-4 用叠加法求弯曲变形,23,B,A,要求：计算吊车梁的最大挠度。,例1,起重量为50,kN,的单梁吊车，由45b工字钢制成，,q,=87.485,kg/m,，,I,z,=33800,cm,4,。跨度,l,=10,m,。已知,E,=210,GPa,。,y,z,l,q,P,解：,计算简图,受力情况：,q,=875,N/m,P,=50,kN,C,C,P,+,C,q,叠加得梁的最大挠度为：,max,C,P,+,C,q,=16.3,mm,q,单独作用,P单独作用,自重引起的变形与载荷引起得变形相比很小。,/,BA要求：计算吊车梁的最大挠度。例1 起重量为50kN的单梁,24,解,叠加,l,A,B,m=ql,2,C,q,单独作用,m单独作用,求梁,中点C,的挠度和,B截面,的转角。,例2,B,q,A,l,m=ql,2,C,B,q,A,l,C,/,解叠加lABm=ql2Cq单独作用m单独作用求梁中点C的挠度,25,例3,试按叠加原理求图,a,所示等直梁的跨中截面挠度,w,C,和两支座截面的转角,q,A,及,q,B,。,(a),解：,此梁,w,C,及,q,A,，,q,B,实际上可不按叠加原理而直接利用表6.1情况下的公式得出。这里是作为灵活运用叠加原理的例子，假设没有可直接利用的现成公式来讲述的。,/,例3试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 wC 和两支,26,作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面,C,正对称和反对称荷载的叠加(图,b,)。,第五章 梁弯曲时的位移,(,b,),(a),/,作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面C正,27,在集度为,q,/2,的正对称均布荷载作用下，表6.1中序号10公式有,C,/,在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，表6.1中序号,28,注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，,因此可将左半跨梁,AC,和右半跨梁,CB,分别视为受集度为,q,/2,的均布荷载作用而跨长为,l,/2,的简支梁,。于是利用表6.1中序号,10,情况下的公式有,第五章 梁弯曲时的位移,在集度为,q,/2,的反对称均布荷载作用下，由于挠曲线也是与跨中截面反对称的，故有,C,/,注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该截面上的弯,29,按叠加原理得,/,按叠加原理得/,30,解,a,D,B,A,P,2,C,P,1,求B截面的转角和C点的挠度。,例4,BC段的变形可引起C点的挠度和B点转角。,AB段的变形可引起C点的挠度和B点转角。,如何计算？,（1）讨论BC变形引起的,w,C1,，,B1,，,刚化AB。,P,1,C,B,D,B,A,P,2,C,P,1,/,解aDBAP2CP1求B截面的转角和C点的挠度。例4BC段的,31,解,（2）讨论AB变形引起的,w,C2,，,B2,，,刚化BC。,a,D,B,A,P,2,C,P,1,求B截面的转角和C点的挠度。,例4,P,1,P,1,a,D,B,A,C,P,1,P,2,D,B,A,P,2,C,BP,2,D,B,A,C,P,1,P,1,P,1,a,BP,1,/,解（2）讨论AB变形引起的wC2，B2，刚化BC。aDBA,32,（1）讨论BC变形引起的,y,C1,，,B1,，,刚化AB。,P,1,C,B,解,（2）讨论AB变形引起的,y,C2,，,B2,，,刚化BC。,D,B,A,P,2,C,BP2,D,B,A,C,P,1,P,1,P,1,a,BP1,a,D,B,A,P,2,C,P,1,求B截面的转角和C点的挠度。,例8.3,（3）叠加,/,（1）讨论BC变形引起的yC1，B1，刚化AB。P1CB解,33,逐段刚化法：,在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余梁段视为刚体。,/,逐段刚化法：在分析某梁段的变形在需求位移处引起的位移时，其余,34,6-5 简单超静定梁,1.基本概念：,超静定梁：,支反力数目大于有效平衡方程数目的梁,多余约束：,从维持平衡角度而言,多余的约束,超静定次数：,多余约束或多余支反力的数目。,2.求解方法：,解除多余约束，建立相当系统(静定基)比较变形，列变形协调条件由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约束反力。,相当系统：,用多余约束力代替多余约束的静定系统,7-6,目录,/,6-5 简单超静定梁1.基本概念：超静定梁：支反力数目大于,35,解,例5,求梁的支反力，梁的抗弯,刚度为,EI,。,1）判定超静定次数,2）解除多余约束，建立相当系统,目录,3）进行变形比较，列出变形协调条件,6-5 简单超静定梁,/,解例5 求梁的支反力，梁的抗弯1）判定超静定次数2）解除多,36,4）由物理关系，列出补充方程,所以,5）由整体平衡条件求其他约束反力,目录,6-5 简单超静定梁,/,4）由物理关系，列出补充方程 所以5）由整体平衡条件求其他约,37,静不定梁与静定梁相比,：受力比较均匀，弯矩小，应力、变形都比较小。强度高，刚度大，承载能力强。工程上应用广泛。,“多余”,对于维持平衡而言，多余约束是多余的。,对于提高强度、刚度而言，多余约束是必,需的。,把静不定梁作为静定梁来设计其结果是偏于安全的。,/,静不定梁与静定梁相比：受力比较均匀，弯矩小，应力、变形都比较,38,在工程实际中，对弯曲构件的刚度要求是：梁上最大挠度和最大转角（或某指定截面的挠