期权及其二叉树模型演示文稿课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章 期权及其二叉树模型,金融期权（financial option）简称为期权是主要的金,融衍生产品，它是金融工程的主要工具,也是构成金融工程,其它金融衍生产品的基础。,期权合约是买卖双方签定的一种协议，该协议赋予期,权购买者在未来某一时刻以事先约定的价格购买(或出售）,某一资产的权利。但是，那时他可以行使他的权利也可,以不行使这个权利。,如果到了规定的时间，而不行使这种权利，则这种权,利就失效了。,1,在协议中约定购买（或出售）的资产称为标的资产。,购买时间称为执行时间，购买价格称为执行价格。具有购买权利的期权称为看涨期权，具有出售权利的期权称为看跌期权。,这一章，首先,讨论欧式期权及其组合的损益，并以简,明的图象表示出来。,第二，介绍期权定价的二叉树模型。,第三，介绍以债券为标的资产的期权。,第四，讨论n期二叉树模型。,最后，讨论存在交易费用条件下的二叉树模型。,2,第一节 (欧式)期权及其组合的损益,一、（欧式）期权交易到期的损益分析,设执行价为X，在期权到期时刻T,股票价格为S,T,（一）看涨期权到期日的损益分析,2.看涨期权空头（卖），（承担义务）,1.看跌期权多头(买),(赋予权力),2.看跌期权空头(卖),(承担义务),1.看涨期权多头（买），（,赋予权力,）,（二）看跌期权到期日损益分析,3,设股票初始价格为S,期权的执行价格为股票初始价格，,二、在(,S,W)平面上欧式看涨期权和看跌期权的,损益表示,W为期权的收益,三、在(,S,W)平面上,股票和债券的收益:(为了说明问题方便，这里及下面都考虑无风险收益率因素）,令,(一)在(,S,W)平面上看涨期权多头和看涨期权空头的收益,(二)在(,S,W)平面上看跌期权多头和看跌期权空头的收益,4,(二)债券买卖的收益,1.购入一份股票和一份以此股票为标的看跌期权的收益。,2.卖一份以该股票为标的资产的看涨期权的收益,4.S+P-C损益的数学表达式：,5.直接从证券组合的最终收益也可说明该组合是无风险,证券组合,(三)无风险证券组合的构造:,(一)股票买卖的收益,购入一份股票、一份以此股票为标的看跌期权和卖一,份看涨期权,3.购入一份股票的收益,5,(四)其他期权组合的收益,1.牛市价差买卖(bullish vertical spread)：,购买一份执行价格为X,1,的看涨期权，卖出一份执行价格,是X,2,的看涨期权，其中X,2,X,1,2.熊市价差买卖（bearish vertical spread）：,卖出执行价格为X,1,的看涨期权，买入一份执行价格是,X,2,的看涨期权，其中X,2,X,1,。,3.蝶式价差买卖(butterfly spread）：,它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一,份执行价格为 X,1,和一份执行价格为X,2,的看涨期权，再卖,出两份执行价格为X,3,的看涨期权。其中，X,2,X,3,X,1,，,且,6,4.底部马鞍式组合（bottom straddle 或买马鞍式）：,购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X,5.顶部马鞍组合（top straddle 或卖马鞍式)：,卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X,6.底部梯形组合（Bottom vertical combination 或买,入梯形组合)：,买入一份看涨期权和一份看跌期权,执行价格分别是,X,1,和X,2,，其中X,2,X,1,。,7.顶部梯形组合（Top vertical combination 或卖出梯,形组合)：,卖出一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格分别为,X,1,和X,2,，其中X,2,X,1,。,7,8.叠做期权（Straps）：,购进两个看涨期权和一个看跌期权，它们的执行价与,到期日都相同。,9.逆叠做期权（Strip）：,购买两份看跌期权 和一份看涨期权，具有相同的执行价,和到期日。,10.三明治买卖（sandwich）期权：买两份执行价格为,中间的Xm看涨期权,卖一份执行价为X,L,的较低价格的看,涨期权,卖一份执行价高Xu的看涨期权，即,11.W型,以例子说明该证券组合：,8,第二节 期权定价的二叉树模型,一、期权定价的一期模型,Cox-Ross-Rubinstein二叉树期权定价模型：,设资本市场是竞争的无摩檫的（不存在交易费用),不存在无风险套利机会，股票和期权是无限可分的。下一期的股票价格只取两种可能的值。,先讨论一期模型：,注:条件 u 1+r d 必须成立,否则可能出现套利机会。,（一）股票价格的一期变化规律,（二）以股票为标的期权价格,9,设以该股票为标的看涨期权的价格为C,执行价格,为22,则,对此期权如何定价是合理的?为了解决此问题,构造一个无风险套期保值的证券组合：,购买一份股票，卖掉m份期权，这个证券组合的价值：,q,1-q,C,10,由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故在期,末时它在各状态的收益是一样的。由无风险的证券组合,条件，我们有：,由于所构造的证券组合是无风险证券组合，故有：,（1+r)(S-mC）=uS-mC,U,11,将m的值代入时,有 (m称为套期保值率hedge ratio),令,p称为套期保值概率。,12,事实上,若投资者是风险中性，则有,由此得,p=q,所以通常也称p为风险中性概率,13,例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22，,求C。,注1.由此可知套期保值证券组合所需要的投资,在期末所得到的无风险收益为22.,14,注2.此套期保值的证券组合为,买一份股票,卖一份,看涨期权.,注3.投资的回报率 22/19.13=1.15=1+r.,注4.由上面推导期权定价的过程可知,期权的价值依赖,于存在一个套期保值的证券组合,以及期权的定价,是要使此套期保值组合获得无风险回报率,即债券,的回报率.,如果期权价格高了(或者低了),则套期保值证券组合,的收益率比无风险收益率高(或低)的回报,无风险套利机,会就存在.,15,期权定价公式三个有趣的性质：,期权的价格不依赖于股票价格上升的概率。尽管投资,者对股票上升的概率有不同的判断,但他仍然只能接受,与,u,，,d,，,X,，,S,，,r,相关联的期权价值，而股票本身是,引起投资者对,q,的不同判断的根源。,2.投资者对风险的态度与期权定价公式无关,所得的结,果只假设人们偏好更多的财富。,3.股票价格是期权价值唯一依赖的随机变量。,16,二、期权定价的二期模型,为了得到多期期权价格公式,首先讨论二期模型,设二期无风险利率为r，每期复利一次，则一元钱的投,资到二期后有(1+r),2,元，设股票的初始价格为S，,与一期模型一样,为了得到期权的价格，构造无风险套期,保值证券组合,从而得到：,由一期模型得到的C,u,C,d,代入上式有:,17,实际上,上式是两次应用一期模型定价公式得到的,括号中是,的二项展式，只不过,分别用二期之后期权,代替,它们分别是：,可能取得的三个值,从另一个角度看,上式表明:期权价值等于在风险中,性概率下二期收益的期望值折现。,18,第三节 以债券为标的资产的看涨期权定价的二叉树模型,1.就债券支付状态的变化规律而言,与股票支付状态的变化规律相反.股票支付状态随着时间的推移逐渐地分叉，如:图 8-35,3.设利率也是取二值的过程：如:图 8-38,一、债券价格的二叉树模型,概述,2.债券支付(收益)在到期日收敛于它的面值,此外多数债券有票息支付,如:图 8-36 及 图 8-37,4.设债券面值为D，半年的票息为C,i,，i=1,2n，若,把此债券看成面值与票息分离的债券，则债券的现金流,相当于2n份面值为C,i,和一份面值为D的零息债券。,19,(一)风险中性方法,债券价格树的构造,1.一年期债券的价格树 图 8-39,2.一年半期债券的价格树 图 3-40,（二）利率期限结构模型方法,在（一）中介绍了给定利率期限结构以及半年期利率,变化规律寻找风险中性概率序列并且应用该序列给债券,定价的方法。另一种债券定价的方法，称为利率期限结,构模型方法：先固定半年期利率在下一期以同样的概率,分别取两个值，然后利用利率期限结构模型计算半年期,利率值，从而构成一个利率树。用所得到的利率树对债,券未来的价值折现就可得到债券的价格,。,如 图 8-45,8-46,20,例 8-8 设初始利率为r=10%,在第二期以q=0.5的概率上升到12%,以0.5的概率下降到d=8.5%。同时假设债券的面值D=100在一年期半内每半年支付的红利10,而每期初债券的价值是期末支付的期望值的折现,求债券的价格。如图 8-47,t 期债券价格:,21,二、以债券为标的资产的期权定价,设以例8-8中的债券 为标的资产、执行价X=100的看涨期权,在t时期市场上价格为C,t,，它的收益如下：,图 8-48,？,22,若是无风险套期保值，此债券组合在到期时的支付,（收益）是一样的。设看涨期权在t期执行，则此债券组,合在t+1期时两个状态的收益相等。,为了达到期权定价的目的。与以股票为标的看涨期,权定价理论一样,构造一个无风险套期保值债券组合；购,买一份债券，出售m份看涨期权（以该债券为标的的看,涨期权）。,B,d,t+1,+票息-mC,d,t+1,=B,u,t+1,+票息-mC,u,t+1,23,由于是无风险债券组合，故有,（B,t,-mC,t,）（1+r,t,/2）=B,d t+1,+票息-mC,dt+1,其中r,t,为无风险利率，将m的值代入上式，我们有：,24,一、二项式及二项分布,二项式试验(Binomial trials)：称试验结果只有两,个的试验为二项式试验。如在抛硬币试验中，可能出,现的结果只有两个：正面和反面。硬币可以是均匀的，,也可以不是均匀的。设抛硬币时出现正面的概率为p，,出现反面的概率为1-p.二项分布告诉我们在n次试验中,出现k次正面的概率为,第四节 n,期欧式期权的定价模型,25,记为Pr(k|n)。例如，试验次数为3，则出现两次正面的概率为Pr（2|3）。当试验次数不多时，Pr(k|n）的系数可以借助帕斯卡三角形（Pascals triangle）。每一行的数据都是由前行相邻的两数之和。,二、n 期欧式看涨期权的定价公式,试验次数,帕斯卡三角形,0 1,1 1 1,2 1 2 1,3 1 3 3 1,4 1 4 6 4 1,出现正面次数 n，n-1，.n-n,26,n 期欧式看涨期权取值的结果:,对应概率,C,n,n,p,n,C,n,n-1,p,n-1,(1-p),C,n,n-K,p,n-K,（1-p）,K,.C,n,0,p,0,(1-p）,n,故,27,分析结果.,知看涨期权的价值随着股票的价格上涨，而当执行价,格升高时,它的价值随之降低。而且，无风险利率、期,权到期期限n、二项分布的方差,2,=np(1-p)都影响,期权的价值.,2.当无风险利率上升时,它的主要影响是降低执行价格,的折现值,尽管随着r的上升引起p和p,的变化但还是提高了看涨期权价值.,1.由,28,3.增加到期期限同样提高了看涨期权的价格。我们知道,看涨期权的价值等于最终收益的折现乘上套期保值的概,率。而时间期限的数值不改变套期保值的概率但他增加,的正收益的项数,且二项分布收益的期望值也随,着 np 的增加而增加。,4.看涨期权价值随着二项分布方差 np(1-p),增加而增加.,29,第五节 存在交易费用条件下期权定价的二叉树模型,期权定价的基本思想是构造一个证券组合，使得他在,期权执行时刻的收益与期权的收益相同，而这个证券组,合的初始值就是该期权的合理价格。更加严格地说，使,得在执行时，证券组合价值等于期权价值的所有证券组,合中，初始价值最小的那个证券组合，就是套期保值证,券组合，其价值就是期权的价格。下面讨论另一类二叉,树模型不可重合的