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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,第八章,圆锥曲线方程,2,8.5,直线与圆锥曲线的位置关系,第二课时,题型,3,圆锥曲线中的定值问题,1.,如图，倾斜角为,的直线经过抛物线,y2=8x,的焦点,F,，且与抛物线交,于,A,、,B,两点,.,(1),求抛物线的焦点,F,的坐标及准线,l,的方程；,(2),若,为锐角，作线段,AB,的垂直平分线,m,交,x,轴于点,P,，证明,|FP|-|FP|cos2,为定值，并求此定值,.,解：,(1),设抛物线的标准方程为,y2=2px,，则,2p=8,，从而,p=4.,因此焦点,F(,0),的坐标为,(2,，,0).,又准线方程的一般式为,x=-.,从而所求准线,l,的方程为,x=-2.,3,(2),解法,1:,如图,作,ACl,BDl,垂足分别为,C,、,D,，,则由抛物线的定义知,|FA|=|AC|,|FB|=|BD|.,记,A,、,B,的横坐标分别为,xA,、,xB,，,则,解得,4,类似地,有,|FB|=4-|FB|cos,解得,记直线,m,与,AB,的交点为,E,，,则,所以,故 为定值,.,5,解法,2,：设,A(xA,yA),，,B(xB,yB),，直线,AB,的斜率为,k=tan,，,则直线,AB,的方程为,y=k(x-2).,将上式代入,y2=8x,得,k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,，,故,记直线,m,与,AB,的交点为,E(xE,yE),，,则,故直线,m,的方程为,7,令,y=0,得,P,的横坐标,故,从而 为定值,.,点评：探求有关定值问题，一是可以转化为求值问题来解，二是可以考虑特殊情况时的解,.,8,如图,已知点,F(1,0),直线,l:x=-1,，,P,为平面,上的动点，过,P,作直线,l,的垂,线,垂足为,Q,且,(1),求动点,P,的轨迹,C,的方程；,(2),过点,F,的直线交轨迹,C,于,A,、,B,两点，交直线,l,于点,M,已知 试推断,1+2,是否为定值，并说明理由,.,9,解,:(1),设点,P(x,y),则,Q(,1,，,y).,由,得,(x+1,0)(2,-y)=(x-1,y)(-2,y),化简,y2=4x.,所以动点,P,的轨迹,C,的方程为,y2=4x.,(2),设直线,AB,的方程为,x=my+1(m0).,设,A(x1,，,y1),，,B(x2,，,y2),，又,M(-1,，,-).,10,联立方程组 消去,x,得,y2=4my+4,，,则,=(-4m)2+160,故,由,得,整理得,所以,为定值,.,11,2.,已知直线,x-2y+2=0,经过椭圆,C:,(ab0),的左顶点,A,和上顶,点,D,，椭圆,C,的右顶点为,B,，,点,S,和椭圆,C,上位于,x,轴上方的动点，直线,AS,BS,与直线,l:x=,分别交于,M,N,两点,.,(1),求椭圆的方程；,(2),求线段,MN,的长度的最小值；,12,题型,4,圆锥曲线中的最值与范围问题,(3),当线段,MN,的长度最小时，在椭圆,C,上是否存在这样的点,T,，使得,TSB,的面积为？若存在，确定点,T,的个数；若不存在，说明理由,.,解：,(1),由已知得，椭圆,C,的左顶点为,A(-2,0),，上顶点为,D(0,1),所以,a=2,b=1,故椭圆,C,的方程为,(2),直线,AS,的斜率,k,显然存在，且,k0,，,故可设直线,AS,的方程为,y=k(x+2),从而,13,由 得,(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,设,S(x1,y1),则 得,从而 即,又,B(2,0),，故直线,BS,的方程为,由 得,所以 故,14,又,k0,，所以,当且仅当 即 时等号成立,.,所以 时，线段,MN,的长度取最小值,.,(3),由,(2),可知，当,MN,取最小值时，,此时,BS,的方程为,x+y-2=0,所以,要使椭圆,C,上存在点,T,，使得,TSB,的面积等于 ，只须,T,到直线,BS,的距离等于 ，,15,所以,T,在平行于,BS,且与,BS,距离等于 的直线,l,上,.,设直线,l:x+y+t=0,则由 解得 或,当 时，由 得,5x2-12x+5=0.,由于,=440,故直线,l,与椭圆,C,有两个不同的交点,;,当 时，由 得,5x2-20 x+21=0.,16,由于,=-20b0),的右焦点,F,，作斜率为,1,的直线,l,交椭圆于,A,、,B,两点，,O,为原点,.,已知 与向量,a=(3,，,-1),共线,.,(1),求椭圆的离心率；,(2),设,M,为椭圆上任意一点,且,(,R),证明：,2+2,为定值,.,解：,(1),设点,F(c,0),则直线,l,的方程为,y=x-c.,代入椭圆方程,整理得,(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.,21,设点,A(x1,，,y1),，,B(x2,，,y2),，,则,因为 与,a,(3,，,-1),共线，,所以,3(y1+y2)+(x1+x2)=0,，,即,3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0.,所以 于是 解得,a2=3b2.,所以,(2),因为,a2=3b2,所以椭圆方程可化为,x2+3y2=3b2.,22,由题设,=(,x1+,x2,，,y1+,y2).,因为点,M,在椭圆上，,所以,(,x1+,x2)2+3(,y1+,y2)2=3b2,，即,2(,x12+3y12)+,2(,x22+3y22)+2,(,x1x2+3y1y2)=3b2.,因为,A,、,B,两点在椭圆上，,所以,x12+3y12=3b2,，,x22+3y22=3b2.,又,x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c),=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2,23,所以,23,b2+,23,b2=3b2,即,2+2=1,为定值,.,24,2.,学校科技小组在计,算机上模拟航天器变轨返,回实验，设计方案如右图,.,航天器运行,(,按顺时针方向,),的轨迹方程为,变轨,(,即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线,),后返回的轨迹是以,y,轴为对称轴，,M(0,，,),为顶点的抛物线的实线部分，降落点为,D(8,，,0),，观测点,A(4,，,0),，,B(6,，,0),同时跟踪航天器,.,26,(1),求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；,(2),试问：航天器在,x,轴上方时，观测点,A,、,B,测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？,解,:(1),设抛物线方程为 易得 所以曲线的方程为,(2),设变轨点为,C(x,，,y).,根据题意可知,，,27,易得,4y2-7y-36=0,，,解得,y=4,或,y=-(,不合题意,舍去,),所以,y=4,所以得,x=6,或,x=-6(,不合题意，舍去,).,所以点,C,的坐标为,(6,4),则,|AC|=,|BC|=4.,所以，当观测点,A,、,B,测得离航天器的距离分别为 、时，应向航天器发出变轨指令,.,28,1.,对于圆锥曲线中的定点、定值问题,一般利用方程思想转化为求值问题来解决,.,2.,对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式,(,组,),求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域,.,29,3.,对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值,.,4.,圆锥曲线实际应用问题大都带有一定的实际生活背景，利用圆锥曲线的定义、方程及其几何性质，将实际问题与之相互联系，灵活转化是解决此类问题的关键,.,30,
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