矩阵及其运算课件

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一,PPT,模板网，,PPT,素材下载, 矩阵及其应用,1,、矩阵的定义,2,、矩阵的运算,矩阵的应用,重 点,:,难 点,:,第,2,章 矩阵及其应用,一、学习矩阵的目的,矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。,计算机科学,中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是,数值分析,领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如,稀疏矩阵,和准,对角矩阵,，有特定的快速运算算法。,2,矩阵及其应用,二、矩阵的定义,1,、矩阵的定义,由,mn,个数排成的,m,行,n,列的矩阵表示为：,矩阵一般都是用大写黑体字母,A,B,等表示，为指明矩阵的行列信息，通常带下标，如：,A,mn,或,a,ij,mn,2.1,矩阵的概念,2.1,矩阵的概念,【,例如,】,某厂家向四个商店发送四种产品的数量可用矩阵表示。,其中,a,ij,表示向第,i,个商店发送第,j,种产品的数量。这四种产品的单价和重量设用矩阵,(b,ij,),42,表示,。,其中,b,i1,表示第,i,种商品的单价，,b,i2,表示第,i,种商品的重量。,2.1,矩阵的概念,【,例如,】,四个城市间的直接单向可达航线如图,2.1,所示。若城市之间的单向航线定义为：,【,练习,】,设小明家第一季度水、电、物业和煤气费用如下表所示。请把该表格用矩阵等价的表示；如果用矩阵表示第一季度每个月费用总额如何表示？如果用矩阵表示第一季度水费、电费、物业费和煤气费总额如何表示？,2.1,矩阵的概念,水费,电费,物业费,煤气费,一月,20,元,150,元,200,元,10,元,二月,22,元,100,元,200,元,15,元,三月,25,元,80,元,200,元,10,元,三、特殊矩阵,1,、方阵,2,、零矩阵（,0,）,3,、行矩阵,4,、列矩阵,5,、对角方阵（对角阵）,6,、单位矩阵（,I,）,:,主对角线元素全为,1,的对角阵。,7,、矩阵相等,8,、对称矩阵：,a,ij,=a,ji,元素以主对角线为对称轴对应相等。,9,、负矩阵（,-A,）,2.1,矩阵的概念,【,例如,】,设有矩阵相等如下，求,x,y,z,。,2.1,矩阵的概念,【,例如,】,设矩阵,A,如下，求其负矩阵,-A,。,一、矩阵的加法,1,、定义,设,A=a,ij,mn,B=a,ij,mn,以,A,与,B,对应元素之和为元素构成的,mn,矩阵，称为矩阵,A,与,B,的和，记作,A+B,，公式如下：,2.2,矩阵的运算,【,练习,】A+(-A)=?,【,例如,】,【,考虑,】,矩阵的减法,2,、矩阵加法运算性质,设矩阵,ABC,都是,mn,同类型矩阵，则：,A+B=B+A,A+(B+C)=(A+B)+C,A+O=A,A+(-A)=0,【,练习,】,验证结合律。,2.2,矩阵的运算,二、矩阵的数乘,1,、定义,设,A=a,ij,mn,，,k,为数，数,k,与矩阵,A,的乘积定义为：,kA=ka,ij,mn,，或者记为,Ak,。,【,例如,】,设,k=5,矩阵,A,如下所示，则,5A=,？,2.2,矩阵的运算,2,、矩阵数乘的运算性质,1A=A,(ku)A=k(uA),(k+u)A=kA+Ua,k(A+B)=ka+kB,三、矩阵的线性运算,矩阵的加法和数乘称为矩阵的线性运算。,四、矩阵的乘法,1,、定义 设,A=a,il,mk,B=b,lj,kn,设其乘法矩阵,AB,用,C=c,ij,mn,表示如下：,2.2,矩阵的运算,【,例如,】,设已知矩阵,A,和,B,如下，求矩阵,AB,和,BA.,2.2,矩阵的运算,【,思考,】BA=?IA=?AI=?,【,练习,】,已知矩阵,A,、,B,如下所示，求,AB=,？,BA=?,【,练习,】,设某厂家向,3,个商店分别销售了,4,种产品，如矩阵,(a,ij,),34,所示，每种商品的价钱和重量如矩阵,(b,ij,),42,所示。试用矩阵运算求某厂家对每个商店销售商品的总价钱和总重量。,2.2,矩阵的运算,2,、矩阵乘法运算性质,(1),不满足交换律,(2),左分配律,A(B+C)=AB+AC,右分配律,(B+C)A=BA+CA,(3),结合律,A(BC)=(AB)C,(4),数与矩阵的结合律,(kA)B=A(Kb)=k(AB),【,练习,】,验证矩阵乘法的结合律,2.2,矩阵的运算,五、矩阵转置,1,、定义把矩阵,A=a,ij,mn,的行列互换得到一个新的矩阵，称为矩阵,A,的转置，记作,A,T,。,2.2,矩阵的运算,例如,【,考虑,】,若矩阵是对称的，则,A,T,与,A,的关系？,【,练习,】,对角矩阵和,I,的转置矩阵与原矩阵什么关系？,2,、矩阵转置的运算性质,(A,T,),T,=A,(2)(kA),T,=kA,T,(3)(A+B),T,=A,T,+B,T,(4)(AB),T,=B,T,A,T,【,练习,】,验证,(AB),T,=B,T,A,T,2.2,矩阵的运算,【,练习,】,求,A+2B,AB-BA.,【,练习,】,求,A,T,B,BA,T,.,2.2,矩阵的运算,一、逆矩阵,1,、定义 设,A,是一个,n,阶方阵，如果存在一个,n,阶方阵,B,，使得,AB=BA=I,n,则称,B,是,A,的一个逆矩阵，并称,A,是一个可逆矩阵。,2,、逆矩阵性质,逆矩阵是唯一的。并记作,A,-1,。,(1)(A,-1,),-1,=A,(2),如果矩阵,A,可逆，常数,k0,则矩阵,kA,可逆，且,(kA),-1,=(1/k)A,-1,(3),如果,A,、,B,都是,n,阶可逆矩阵，则,AB,是一个,n,阶可逆矩阵，且,(AB),-1,=B,-1,A,-1,2.3,逆矩阵,矩阵分析在计算机中的应用非常多，是一种方便的计算工具，可以以简单的形式表达复杂的公式，比如：数字图像处理、计算机图形学、计算机几何学、人工智能、网络通信、以及一般的算法设计和分析等。矩阵分析与应用将矩阵的分析分为梯度分析、奇异值分析、特征分析、子空间分析与投影分析五大部分。,一、关系的矩阵表示，图形的矩阵表示,关系是纯数学理论，是研究关系数据库的重要方法。关系的矩阵表示，利用,warshall,算法构造关系的传递闭包。,邻居矩阵，利用邻居矩阵求可达矩阵，利用可达矩阵判断操作系统的进程和资源之间占有的死锁问题，程序调用之间的递归的深度等问题。,距离矩阵，利用距离矩阵求图的中心点中位点等。,二、矩阵在计算机编程中的应用,三、矩阵在计算机三维图形变换中的应用,2.4,矩阵在计算机中的应用,Thank You!,