环状涂色问题的优化教学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,问题的背景：,（2003,年全国高考题）,如图，一个地区分为,5,个行政区域，现给地图着色，,要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有可供选择，,则不同的着色方法有_种。,在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图）要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有,4,种不同的植物可供选择，则栽种方案有,_,种。,问题：,第一类：,若A、C、E所种植物都相同，则种A、C、E,有4 种方法，种B、D、F各有 3 种方法，所以完成种植,有4,3,3,3=108 种方法。,第二类：,若A、C、E所种植物两两不同，则种A、C、E,有4,3,2种方法，种B、D、F各有2种方法，所以完成,种植有4,3,2,2,2,2=192种方法。,对A、C、E 所种植物是否相同分为三类：,第三类：,若A、C、E所种植物仅有两区域一样。,若A与C同，则种A、C、E有4,3种方法，种B、D、F,分别有3、2、2种方法，故有4,3,3,2,2=144种方法。,若,A,与,E,同，同理可得，有,144,种方法。,若,C,与,E,同，亦同理可得，有,144,种方法。,将上述三大类结果相加，得所求种植方法数为,732,种。,（更巧解）,作圆被分成了3、4、5、6个扇形区域的图形,如下：,（图A）,（图B）,（图C）,（图,D,）,对图A，按要求显然有4,3,2=24种栽种方案。,对图,B,，用去杂法求解，假设,4,区域种法依次为,4,、,3,、,3,、,3种,，,则需减去首尾两区域种相同植物的情形（相当于图,A,的情形）,故有 种栽种方案。,对图C，类似于图B的解法，假设5个区域种法依次为4、3、,3、3、3种，则需减去首尾两区域种相同植物的情形（相当于,图B的情形）。,故有,种栽种方案。,（图A）,（图B）,（图C）,（图,D,）,对图D，类似于图C的解法，假设6区域种法依次为4、3、3、,3、3、3种，则需减去首尾两区域种相同植物的情形（相当于,图C的情形）。,种栽种方案。,故有,问题：,记为,相连构成,n,个三角形，,、,、,、,，,现取,种颜色对这,n,个三角形涂色，每相邻的两个三角形的涂色不同，,试求涂色的方案有多少种？,如图，已知,p,是,n(n3),边形内的一点，它与,n,个顶点,P,设涂法总数为,先对,当,时，看作只有,两个相邻区域，,与,涂色，有,种涂法，继而对,有,种涂法，,因而,下面导求当,时，,的递推公式：,先对,涂色，有,种涂法，继而,有,种涂法，,这样，共有,种涂法。,有,种涂法，,仍有,种涂法，,，,而这些涂法可分为两类：,一类是,与,同色；,另一类是,与,不同色，,前者与要求不符，但可认为,与,合为一个三角形，,此时，涂法有,种。,故得递推公式为：,令,即,则,故,问题的评价：,教学题材的创新是创新教学的源头活水。,传统的题材对学生形成概念和巩固概念有着很好的效能。,但一成不变的“单一思路”不能使青年学生广泛接受，,不利于学生形成对数学的正确的情感、态度和价值观，,也不利于数学能力的高层次发展。,因此，对传统题材推陈出新，,对解题思路的不断更新，是一项非常有价值的工作。,再见,