向量的数量积

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面向量数量积的物理背景及其含义,位移,S,O,A,F,问,:,一个物体在力,F,的作用下产生的位移,s,，那么力,F,所做的功应当怎样计算？,一、向量数量积的物理背景,力做的功：,W=|F|,|s|cos,，,是,F,与,S,的夹角。,我们将功的运算类比到两个向量的一种运算，得到向量“数量积”的概念。,二、向量与的数量积的概念,已知两个非零向量与，它们的夹角为,，则我们把数量,叫做 与 的数量积,(,或内积,),，记作：,规定：,零向量和任一向量的数量积为,0,思考：两非零向量 与 的数量积是一个,实数,，不是一个向量，,其值可以为正，也可以为负，还可以为零,，请说出什么时候为正，什么时候为负，什么时候为零？,测一测：,结论：,算一算：,答案：,-10,同向时，,48,反向时，,-48,算一算：,三、向量的投影,设,是向量与间的夹角，,叫做向量 方向上的投影；而 称为 方向上的投影。,说明：,一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数，当,0,90,时，它为正值；当,=90,时，它为,0,；当,90,180,时，它为负值特别地，当,=0,，,它就等于；而当,=180,时，它等于 。,你能根据投影的定义解释,的,几何意义,？,练一练：,练习：,1,、三角形,ABC,为正三角形，问：,60,0,120,0,2,、判断下列说法的正误，并说明理由,假,真,真,四、向量数量积的运算律,已知向量 与实数,，则向量,的数量积满足下列运算律：,(,分配律,),（,1,）交换律：,证明：,设 夹角为,，,则,所以,（,2,）,若,证明：,若,（,3,）,1,2,A,B,O,A,1,B,1,C,证明：在平面内取一点 ，作,（即 ）在 方向上的投影等于,在 方向上的投影的和，,即,即,思考,(1)?,(2),说明：向量数量积不满足消去律，也就是说：,平面向量数量积的常用公式,1,、已知,与 的夹角为,60,，,求：（,1,）在 方向上的投影；,（,2,）,=2,解：（,2,）,看谁算得快!,谁来讲,谁会做?,五、平面向量数量积的坐标表示,思考,2,：,对于上述向量 ，则 分别等于,什么？,思考,1,：,设 是分别与,x,轴、,y,轴同向的两个单位向量，若两个非零向量 ,(x,1,，,y,1,),(x,2,，,y,2,),，则向量,与,用 分别,如何表示？,思考,3,：,根据数量积的运算性质，,a,b,等于什么？,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,.,x,1,x,2,y,1,y,2,思考,4,：,若 ,(x,1,，,y,1,),(x,2,，,y,2,),，则 ,x,1,x,2,y,1,y,2,，这就是平面向量数量积的坐标表示,.,你能用文字描述这一结论吗？,思考,5,：,你能用向量的坐标表示向量的夹角、模及垂直关系吗？,例,3,已知向量 ,(4,，,3),(,1,，,2),求,:,(1),(2),(3),理论迁移,(1)2,；（,2,）,17,；（,3,）,3.,例,4,已知点,A,（,1,，,2,）,B,（,2,，,3,）,C(,2,，,5),，试判断,ABC,的形状，并给,出证明,.,ABC,是直角三角形,例,5,已知向量,(5,，,7),，,(,6,，,4),，求向量,与 的,夹,（求其三角函数值）,.,例,6,已知向量 ,(,，,2),，,(,3,，,-5),，若向量,与,的夹角为钝角，求,的取值范围,.,例,7,已知,(1,，,1),，,=,3,，,，求,