非寿险第二章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二章,损失分布,损失和赔款,损失指的是保险标的在保险事故中遭到的实际损失额。,常用一个随机变量来描述。,保险公司的赔款额是由保险标的的实际损失所决定的，但又并不总等于保险标的的损失额。,2.1,研究损失分布的数学工具,2.1.1,随机变量及其分布,例：用X表示保险标的的损失额，a表示合同规定的免赔额，那么保险公司承担保险责任的概率为 PXa=1F(a)。又损失不超过bba且保险公司承担保险责任的概率,P(aXb)=F(b)F(a)。,随机变量及其分布,:,用,X,、,Y,、,Z,等大写字母表示,随机变量;随机变量X的分布函数，记作F（x）=P(X x)，x R.,2.1.2,离散型随机变量和连续型随机变量,保险期限内，保险标的发生保险事故的次数,N,的取值只能是,0,、,1,、,2,、,，这种只能取有限个值或可列个值的随机变量，我们称之为,离散型随机变量,。离散型随机变量除了用分布函数刻划其规律以外，还可以用分布列来反映其分布规律。,离散型随机变量的分布列和分布函数的关系可用下式表示：,离散型随机变量的分布函数是一个右连续的阶梯函数。,其分布函数为：,这种分布我们称为两点分布，或,0,1,分布。,例,2.1.1,（二点分布）设同类保单在保险期限内只有索赔和不索赔两种情况，根据以往经验，索赔的概率为,p,，,那么，任意一份保单在保险期限内的索赔次数,X,就是取值为,0,、,1,的离散型随机变量，其分布列为：,在非寿险精算中，一次事故的损失额或者保险期限内的全部损失额X的取值范围是一个区间0，+，象这种取值布满某个区间，并且有密度函数的随机变量，我们称为连续型随机变量。与离散型随机变量的分布列相对应，连续型随机变量可用密度函数来描述其概率分布。,例,2.1.2,（均匀分布）如果某类保单的免赔额为,a,保险金额为,b(0a350,000,）,=P(),P(Z1.06)=1,(1.06)=0.1446.,2.2.2,赔款额的理论分布,1,.,对数正态分布,定义,2.2.1,若随机变量,X,的对数函数,则称,X,服从以,为参数的,对数正态分布,，记作,其密度函数为,：,数学期望和方差为：,，,例,2.2.2,已知某一特定风险的赔款额服从参数为,的对数正态分布。问：从,400,元到,40,000,元的赔案在全部赔案中占多大的比例？,解：因为,所以，,.,2.,帕累托（,Pareto,）,分布,帕累托（,Pareto,）,分布,是又一个常用的赔款额分布。它的密度函数曲线也呈右偏态，但尾部趋于,0,的速度比对数正态分布慢。帕累托分布的密度函数为：,当 时，帕累托分布的数学期望存在：,当 时，帕累托分布的方差存在：,例2.2.3 设某险种的赔款额X千元服从以 ，=2 为参数的帕累托分布。如果有个该险种的超赔再保险合同，自留额为4千元，那么，涉及再保险接受人的那些赔案的平均赔款为多少？,解：,P(X4)=1F(4)=0.125,=2(千元),3.,伽玛（,Gamma,）,分布,伽玛分布也是非寿险精算中常用的连续型分布，常用来刻划赔款额的分布和分析风险的异质性。,伽玛分布的密度函数为：,数学期望和方差分别为：,矩母函数为：,2.2.3,赔款次数的理论分布,1.,泊松（,Poisson,）,分布,泊松分布是一个取非负整数的离散型随机变量的分布，在统计理论中具有十分重要的作用。它常被用来刻划小概率事件发生的次数，因此在非寿险精算中用它来作为赔款次数的分布是适当的。,泊松分布的分布列是：,其中参数,q0.,泊松分布的数学期望和方差都是,q.,泊松分布的一个重要性质是：,n,个相互独立的参数为,q,的泊松随机变量的和服从的是参数为,nq,的泊松分布。这种性质我们常称之为可加性。譬如：正态分布也具有可加性。,2,二项分布,二项分布描述的是,n,重贝努里试验中事件,A(,成功,),发生,x,次的概率，因而可以用来作为同质风险等额保单赔款次数的概率分布模型。,二项分布随机变量,X,的分布列为：,数学期望和方差分别为：,EX=np,和,VarX=np(1,p),矩母函数为,:,二项分布的两种近似计算方法。,其一是把二项分布随机变量看作互相独立、同服从二点分布随机变量的和，利用中心极限定理得到：当,n,充分大时，,近似地服从标准正态分布。一般，在,np,和,np(1,p),都大于,10,时近似程度就不错了。,其二是利用二项分布的极限分布泊松分布来作近似计算：当,n,充分大，,p,又相当小时，可令,q=np 0,则有,3.,负二项分布,负二项分布描述的是：贝努里试验中，第,k,次发生事件,A,（,成功）前，事件,(,失败,),发生的次数。负二项分布常用于灾害事故和发病情形的统计问题，在非寿险精算中，常被用来描述风险不同质情况下赔款发生次数的分布。负二项分布也称巴斯卡（,Pascal,）,分布。,负二项分布的分布列为：,数学期望和方差分别为：,，,特别，,k=1,时的负二项分布就是几何分布。,例,2.2.4,设某个险种的某个保单持有人在保险期限内的索赔次数服从参数为,q,的泊松分布。由于保单持有人的风险状况不同。所以,q,是一个随机变量，假设其服从参数为 的伽玛分布，即,则索赔次数服从负二项分布,2.3,赔款总量的分布,2.3.1,赔款总量的数字特征和矩母函数,如果在这一定时期内，某险种一共发生,N,次赔款，为其中第,i,次赔款额，那么相应的赔款总量为：,假设诸 独立同分布，且与N独立。,由条件期望和条件方差的性质以及独立性假设可以得到：,；,例,2.3.1,设赔款次数,N,服从负二项分布，参数,VarN=24,第,i,笔赔款的赔款额,的分布列为 ，,i=1,、,2,、，,互相独立且同分布，试求赔款总量,S,的数学期望和方差。,解：由,得，k=4,。,故,又,可以算得,EX=3.4,，,VarX=0.44,所以ES=(EN)(EX)=83.4=27.2,VarS=280.96.,如果已知,N,和 的矩母函数分别为 和,那么，,S,的矩母函数为：,例,2.3.2,设,N,服从几何分布，各次赔款额,服从参数为,=1,的指数分布，试求,S,的矩母函数,解：指数分布的矩母函数为,再由,N,服从几何分布,，可得,这是常数,0,的矩母函数,1,和以,p,为参数的指数分布的矩母函数,的加权平均，权分别为,p,和,1,p.,与此相应，,S,的分布函数也是这两个分布函数的加权平均：,这种分布为混合型分布。,在一般分布的假设下，我们可用卷积表示赔款总量,S,的分布。,相应地，,S,的密度函数为：,2.3.2,复合泊松分布,在上述赔款总量模型中，如果,N,服从泊松分布，我们就称赔款总量,S,服从复合泊松分布。,定义,2.3.1,随机变量 服从以 为参数的复合泊松分布是指它满足：,（1）,随机变量 相互独立；,（2）具有相同的分布；,（3）N,服从泊松分布，参数为,若记具有相同分布的,为,X,，,它们的共同分布函数为,F,（,x,）,则,复合泊松分布随机变量,S,的数学期望和方差为：,，,其矩母函数为：,分布函数和密度函数分别为：,2.3.3,赔款总量的近似模型,在非寿险精算实务中，常用近似模型计算赔款总量的分布。一般常用两种近似模型：在赔款总量分布呈对称状时，用正态近似；在赔款总量分布右偏时，那么用平移伽玛近似。,1.,正态近似,我们不加证明的介绍下列两个结论：,在,S,为复合泊松分布的场合，沿用上面的记号，则当,时，,的分布趋于标准正态分布。,在,S,为复合负二项分布的场合，,N,服从以,k,、,p,为参数的负二项分布，则当,时，,的分布趋于标准正态分布。,2.平移伽玛近似,事实上，赔款总量S的分布常为右偏态，因此在大多数场合用平移伽玛近似比正态近似更为恰当。,我们用 表示以 为参数的伽玛分布函数，对任意一点 ，定义一个新的分布函数,并称之为平移伽玛分布，相当于把伽玛分布平移了 个单位。,平移伽玛分布的三个参数可以通过令它的一阶矩、二阶和三阶中心矩分别与S的一阶矩、二阶和三阶中心矩相等的方程组得到，即,得,特别，当,S,为复合泊松分布时，,如果当,时，,，则平移伽玛分布,趋于正态分布 。,练习题,1,、某类保单在某年的一次赔款额,X,服从以,，,为参数的伽玛分布，考虑通货膨胀的影响，估计下一个年度的一次赔款额,Y,将比,X,增加,10%,，试求,Y,的分布。,2、如果某连续型随机变量的密度函数fx满足：,那么称该随机变量服从混合指数分布。混合指数分布也常用来描述赔款分布。试计算混合指数分布的矩母函数。,3、已发生的1500次赔款说明其平均赔款额为960元，标准差为120元。假设赔款额服从正态分布，试计算 的值，使1500次赔款中有800次的赔款额小于它，而有700次的赔款额大于它，并计算1500次赔款中赔款额小于800元的次数。,4、如果第3题中赔款额改为服从对数正态分布，试答复同样的问题。,5.如果某保险公司承保的每份保单在每个月的可看作以,=0.01为参数的泊松分布随机变量，试计算80000分同类保单中，一年赔款两次以上不包括两次的保单能有多少份。,6、根据过去的经验，某保险公司在某项业务的一次赔款额服从对数正态分布，其平均赔款额为5000元，标准差为7500元。试计算一次赔款超过25000元的概率。,7、分别城堡两类特定风险的两个独立险种的每份保单在一年中的平均赔款次数分别为0.08和0.05，保险公司欲推出一个新的险种，同时承保这两种风险。试计算1000分这种新保单在一年中共发生140起以上赔款的概率，并说明计算所必须的假设前提。,