数量场的方向导数与梯度课件2

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 场论,第,5,讲 数量场的方向导数和梯度,1,主要内容,1.,数量场的方向导数,2.,数量场的梯度,教材：第,2,章 第,2,节,2,方向导数定义：,1.,数量场的方向导数,设,M,0,是数量场,u,=,u,(M),中的一个已知点，从点,M,0,出发沿某一方向引一条射线,l,在,l,上点,M,0,的邻近取一动点,M,，记 ，如图所示。若当,M,趋于,M,0,时,(,即,趋于零时,),，,的极限存在，,方向导数的定义,3,则称此极限为,函数,u,(,M,),在点,M,0,处沿,l,方向的方向导数,，记为,:,定理,1.,若,函数,u,=,u,(,x,y,z,),在点,M,0,(,x,0,y,0,z,0,),处可微，则函数,u,在点,M,0,处沿,l,方向的方向导数必定存在，且其数值由如下公式给出：,其中 ，是在点,M,0,处的偏数，为,l,方向的方向余弦。,4,证明：,M,点的坐标为,M,(,x,0,+,x,y,0,+,y,z,0,+,z,),，由于函数,u,在,M,0,处可微，故,其中,在,0,时趋于零，上式两边除以,，可得：,令,0,取极限，注意到此时有,0,，则得到定理,1.,5,例,1,：,求函数 在点,M(1,0,1),处沿 方向的方向导数。,解：,在点,M(1,0,1),处有：,6,而,l,的方向余弦为：,由定理,1,可得：,7,定理,2.,若在有向曲线,C,上取定一点,M,0,作为计算弧长,s,的起点，并以,C,之正向作为,s,增大的方向；,M,为,C,上的一点，在点,M,处沿,C,之正向作一与,C,相切的射线,l,如图，则当曲线,C,光滑，函数,u,在点,M,处可微时，,函数,u,沿,l,方向的方向导数就等于函数,u,对,s,的全导数,，即：,8,证明：,由于曲线,C,是光滑的，因此可用弧长,s,作为参数在描述其参数方程：,x=x(s),y=y(s),z=z(s).,沿曲线,C,函数表示为,u=ux(s),y(s),z(s).,点,M,处，函数,u,可微，则,u,对,s,的全导数为：,注意到 ，是曲线,C,的正向切线,l,的方向余弦，即：,9,即有：,证毕,!,10,函数沿曲线方向的方向导数：,定义：,如图，从,M,点出发沿,C,之正向取一点,M1,记弧长,若当,M1M,时，比式：,的极限存在，称之为,函数,u,在点,M,处沿曲线（正向）的方向导数,记为：,11,定理,3.,若曲线,C,光滑，在点,M,处函数,u,可微，则有：,证明：,由于曲线,C,光滑，在点,M,处函数可微，故全导数 存在。而 按定义实际上是一个右极限,故当 存在时，就有,12,推论：,若曲线,C,光滑，在点,M,处函数,u,可微。则有：,也就是说，函数,u,在点,M,处沿,曲线,C,（正向）的方向导数,与函数,u,在点,M,处,沿,C,的切线方向（指向,C,的正向一侧）的方向导数,相等。,13,例,2,：,求函数 在点,M,（,2,3,）处沿曲线 朝,x,增大一方的方向导数。,解：,根据推论，只需求出函数,u,沿曲线 在点,M(2,3),处沿,x,增大方向的切线方向导数即可。,将曲线方程改为矢量形式：,其导矢：,就是曲线沿,x,增大方向的切向矢量，代入点,M,（,2,3,）得,14,其方向余弦为：,函数,u,在点,M,处的偏导数为：,所求方向导数为：,15,么么么么方面,Sds,绝对是假的,2.,数量场的梯度,考察方向导数的公式：,可以看成是矢量,G,与矢量,的数量积,其中：,17,显然,为 方向上的单位矢量，因此,函数,u,在 方向上的方向导数等于,G,在 方向上的投影,，如下式：,因此当方向 与,G,的方向一致时，即 函数,u,的方向导数取得最大值为：,由此可见矢量,G,的方向就是函数,u,（,M,）变化率最大的方向，其模就是最大变化率的数值，我们把,G,称为函数,u,在给定点处的梯度。,18,（,1,）梯度的定义：,在数量场,u(M),中的一点,M,处，存在这样一个矢量,G,，其方向为函数,u(M),在点,M,处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值。则称矢量,G,为,函数,u(M),在点,M,处的梯度,，记作,grad u,即：,我们可以借助于方向导数的公式求出梯度在直角坐标系中的表达式为：,19,（,2,）梯度的性质：,性质,1,：,函数,u,沿,l,方向的方向导数等于梯度在该方向 的投影。写作：,20,性质,2,：,数量场,u(M),中每一点,M,处的梯度，垂直与过该点的等值面，且指向函数,u(M),增大的一方。,由性质,2,可知：在等值面上任一点处的单位法矢量 ，就可以通过在该点的梯度表示为：,符号由 的取向来确定。,把数量场中每一点的梯度与场中之点一一对应起来就得到一个矢量场，成为此数量场产生的,梯度场,。,21,例,3,：,设 为点,M(x,y,z),的矢径,r,的模，试证：,证明：,同理,于是,22,例,4,：,求数量场 在点,M(2,-1,1),处的梯度及在矢量,方向的方向导数。,解：,M,点的梯度为：,l,方向的单位矢量为：,23,M,点在,l,方向的方向导数为,（梯度在,l,方向的投影）,24,例,5,：,求常数,a,b,c,之值，使函数 在点,M(1,2,-1),处沿平行于,z,轴方向上的方向导数取得最大值,32.,解：,由题意知梯度方向平行于,z,轴，且其模等于,32,，则有,解得：,a=3,b=12,c=-4;,或,a=-3,b=-12,c=4,25,（,3,）梯度运算的基本公式：,26,例,7,：,设有一温度场,u(M),由于场中各点的温度各不相同，因此就有热的流动，由温度高的点流向温度低的点，根据热传导理论：在场中任一点处，沿任一方向的热流强度与该方向的上的温度变化率成正比。则场中任一点处，沿,l,方向的热流强度为：,其中,k,称为,内导热系数,，负号表示热流方向与温度增大的方向相反,27,记：,则热流强度：,只有当,l,的方向与,q,的方向一致时,热流强度取得最大值,|,q,|,。即矢量,q,的方向表达了热流强度最大的方向，其模表示最大热流强度的数值。,称,q,为热流矢量。,是传热学中的重要概念。,28,例,8,：,设有位于坐标原点的点电荷,q,，由电学知道，在其周围空间的任一点,M(x,y,z),处所产生电位为：,其中,为介电常数，试求电位,v,的梯度。,解：,利用公式（,6,）得,由例,3,知,29,所以,由于电场强度：,则有：,此式说明：,电场中电场强度等于电位的负梯度。,从而可知，电场强度垂直于等位面，且指向电位减小的一方。,30,作业,P48,习题,3,：,1,，,2,，,4,，,6,8,Homework 4,31,