向量的共线定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,（,1,）,一般地，我们规定实数,与向量 的积是一个向量，这种运算叫做,向量的数乘,，记作 ，它的长度和方向规定如下,：,（,2,）当 时，的方向与 的方向相同；,当 时，的方向与 的方向相反。,特别的，当 时，,回顾旧知,:,设 为实数，那么,第一分配律,第二分配律,练习：,已知非零向量 ，求向量 的模,结论：,是单位向量,与 反向的单位向量是,与 同向的单位向量是,与 平行的单位向量是,向量的共线定理,如图,D,E,分别为,ABC,的边,AB,AC,的中点,(1),BC,和,DE,的关系如何,?,(2),能否将,DE,用,BC,线性表示,?,E,D,C,A,B,探索,1,若,|,a,|=3,|,b,|=6,a,与,b,方向相同,能用,a,表示,b,吗？,若,|,a,|=3,|,b,|=6,a,与,b,方向相反,能用,a,表示,b,吗？,你能总结出向量共线的一个条件吗？,如果有一个实数,，使,b,a,(,a,0),，,那么,b,与,a,是共线向量；,反之，如果,b,与,a,(,a,0),是共线向量，,那么有且只有一个实数,使,b,a,共线向量定理,:,注,:,(,1),定理包含正反两层意思,;,(2),定理的一个重要条件,a,0;,(3),符号决定两个向量是同向还是反 向,;,的绝对值决定两个向量长度关系；,判断,:,(1),若,a,/,b,则存在唯一的实数,使,b,=,a,;,(2),若,a,/,b,则存在不全为零的实数,使,a,+,b,=0;,(3),已知,a,与,b,不共线,若,a,+,b,=0,则,=0.,例,1.,如图,OAB,中,C,为直线,AB,上一点,AC,CB,（,）,求证：,A,O,B,C,分析,:,将已知条件中的,AC,，,CB,用结论式中的,OA,，,OB,，,OC,表示，进而解出,OC,运用,证明：,因为,AC,OC,OA,，,CB,OB,OC,，,又,AC,CB,，,所以,OC,OA,（,OB,OC,），,即（,）,OC,OA,OB,又因为,，即,，,所以 ,A,O,B,C,特例：,当,时,你能得到什么结论？,若,C,为线段,AB,的中点,O,为任意一点,则,结论：,已知,OA,、,OB,不共线，,若,P,、,A,、,B,三点共线,则,则,P,、,A,、,B,三点共线,.,若,O,是平面上任意一点,且,若,O,是平面上任意一点,且,其中,则,P,、,A,、,B,三点共线,等价命题：,OA,、,OB,不共线，若,P,、,A,、,B,三点共线,则 其中,例,2.,设,e,1,e,2,是两个不共线向量,判断下列各题中的向量,a,b,是否共线,?,(1),a,=5,e,1,b,=,7,e,1,;,(2),a,=,e,1,e,2,b,=3,e,1,2,e,2,;,(3),a,=,e,1,+,e,2,b,=3,e,1,3,e,2,.,共线,共线,运用,例,3.,设,e,1,e,2,是两个不共线的向量,已知向量,AB,=2,e,1,+,ke,2,CB,=,e,1,+3,e,2,CD,=2,e,1,+,e,2,若,A,、,B,、,D,三点共线,求,k,的值,.,解：,A,、,B,、,D,三点共线,AB,/,BD,，,而,AB,=2,e,1,+,ke,2,BD,=,CD,-,CB,=,e,1,-,2,e,2,，,显然,BD,0,，,则存在实数,使得,AB,=,BD,，,即,2,e,1,+,ke,2,=(,e,1,-,2,e,2,),，,得,(2-),e,1,+(,k,+2),e,2,=0,，,e,1,e,2,不共线,2,=0,，,k,+2=0,，,解得,k,=,4.,运用,例,4.,如图,已知,G,是,OAB,重心,求证：,B,C,A,D,运用,G,E,例,5:,如图，在平行四边形,ABCD,中，,M,是,AB,的,中点，点,N,是,BD,上的一点，,求证：,M,、,N,、,C,三点共线,.,A,M,B,C,D,N,提示：设,AB =,a,BC =,b,则MN=,a+,b,MC=,a+,b,所以,M.N.C,三点共线,1.,已知向量,a,e,e,，,b,（,e,e,），,求证：,a,与,b,是共线向量,练习,2.,已知,MP,e,e,，,PQ,e,e,，,求证：,M,，,P,，,Q,三点共线,3,如图，在,ABC,中，记,BC,a,，,CA,b,，,求证：,证明：,练习,4:,（,2003,全国）,O,是平面上一定点，,A,、,B,、,C,是平面上不共线的三个点，动点,P,满足,则,P,的轨迹一定通过,ABC,的,(),A,外心,B,内心,C,重心,D,垂心,B,概念辨析,（,1,）若向量,与,共线,则,存在实数,使,.,注意对,的讨论,与,则,向量,使,（,2,）若存在实数,共线,.,（,3,）若向量,与,共线,则,存在实数,使得,.,（,4,）存在实数,使得,则,向量,与,共线,.,反例,:,当,时,零向量与任意向量都共线,;,时,依据向量共线定理,.,当,反例,:,有可能为非零不共线向量,.,若,则,若,则,若,则,若,则存在实数,取,使得,（）,（）,（）,（）,一、,向量共线定理,(,a,0),b,=,a,向量,a,与,b,共线,二、定理的应用：,1.,证明 向量共线,2.,证明 三点共线,:AB=,BC,A,B,C,三点共线,3.,证明 两直线平行,:,AB=,CD,ABCD,AB,与,CD,不在同一直线上,直线,AB,直线,CD,小结,再见,