振动之弹簧振子的阻尼振动课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,范例,5.7,弹簧振子的阻尼振动,一弹簧振子的质量为,m,，倔强系数为,k,。振子还受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为,。当振子从静止开始运动时，初位移为,A,。物体的运动规律是什么？不同的阻尼下的位移曲线和速度曲线有什么差别？,解析,根据牛顿运动定律，物体运动的微分方程为,取,k,/,m,=,0,2,，,/,m,=2,，,物体的运动方程可表示为,设微分方程的解为,x,=e,rt,，代入上式得特征方程,r,2,-2,r,+,0,2,=0,。,特征方程的解为,设,可以是实数和零以及虚数，则,r,1,=-,+,，,r,2,=-,。,0,就是无阻尼时物体的固有角频率，,是阻尼因子。,微分方程的解为,其中,C,1,和,C,2,是由初始条件决定的常数,。,范例,5.7,弹簧振子的阻尼振动,当,t,=0,时，,x,=,A,，,v,=0,，因此可得,A,=,C,1,+,C,2,，,0=,C,1,(-,+,)+,C,2,(-,-,),如果,0,，即,0,，解得两个常数分别为,因此物体的位移为,物体的速度为,一弹簧振子的质量为,m,，倔强系数为,k,。振子还受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为,。当振子从静止开始运动时，初位移为,A,。物体的运动规律是什么？不同的阻尼下的位移曲线和速度曲线有什么差别？,物体运动的速度为,范例,5.7,弹簧振子的阻尼振动,当,0,时，即,是正实数,，这是过阻尼的情况,，,位移按指数规律衰减。,当,0,时，即,0,，不论用罗必塔法则还是用公式,e,t,1+,t,和,e,-,t,1-,t,，都可得,x,=,A,(1+,0,t,)exp(-,0,t,),。,这是临界阻尼的情况，位移仍然按指数规律衰减。,讨论,当,=0,时，则,=i,0,，,为虚数单位,可得,可见：在不计阻尼的情况下，物体作简谐振动,。,范例,5.7,弹簧振子的阻尼振动,讨论,当,0,0,时，设,则,=i,，,利用欧拉公式,e,i,=cos,+isin,，,e,-i,=cos,isin,，,可得,位移为,或,其中,这就是欠阻尼的情况，振幅按指数规律衰减。,物体作准周期性运动，,是其角频率，准周期为,阻尼因子越大，周期越长。或者说：阻尼使振动变慢了。,利用双曲函数,sinh,=(e,-e,-,)/2,，,cosh,=(e,+e,-,)/2,，,位移可表示为,用哪一个位移公式都能计算，只要取实部就行了,。,质点运动的位移曲线如图所示，阻尼因子越大，物体达到静止所需要的时间越长。,在临界阻尼情况下，物体到达静止所需要的时间最短。,阻尼因子越小，物体振动的准周期越短，振动时间也越长。,质点运动的速度曲线如图所示，物体的速度从零开始反方向增大，经过一个极小值之后再反方向减小。,极值所在处的加速度为零。,约化阻尼因子大于和等于,1,时，速度大小会逐渐减小为零；阻尼因子比较小时，物体速度也会作周期性变化,。,