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第十节 导数及其运算,内 容,要 求,A,B,C,导数的概念,导数的几何意义,导数的运算,三年,2,考 高考指数,:,1.,导数的定义及其几何意义,(1),定义：设函数,y=f(x),在区间,(a,b),上有定义，,x,0,(a,b),，,当,x,无限趋近于,0,时，比值,=_,无限趋近,于一个常数,A,，则称常数,A,为函数,f(x),在,x=x,0,处的导数，记作,f(x,0,).,(2),导数的几何意义：函数,y=f(x),在,x=x,0,处的导数的几何意,义是曲线,y=f(x),在点,_,处的切线的斜率,.,(x,0,f(x,0,),【,即时应用,】,(1),思考：,f(x),与,f(x,0,),有何区别？,提示：,f(x),是,x,的函数，,f(x,0,),只是,f(x),的一个函数值,.,(2),曲线,y=x,2,在点,(1,1),处的切线斜率是,_.,【,解析,】,y=2x,，曲线,y=x,2,在点,(1,1),处的切线斜率是,2.,答案：,2,(3),函数,f(x)=lnx,的图象在点,(e,f(e),处的切线方程是,_,_.,【,解析,】,f(e)=,，所求的切线方程为,y-f(e)=f(e)(x-e),，即,y-lne=(x-e),，化简为,x-ey=0.,答案：,x-ey=0,2.,基本初等函数的求导公式,基本初等函数求导公式,(C)=_,(,x,)=_(,为常数,),(,sinx,)=_,(,cosx,)=_,(e,x,)=_,(a,x,),=_(a,0,且,a,1),(,lnx,)=_,(,log,a,x,)=_,(a,0,且,a1,x0),0,x,-1,cosx,-,sinx,e,x,a,x,lna,【,即时应用,】,(1)y=x,-5,，则,y=_.,(2)y=4,x,，则,y=_.,(3)y=log,3,x,，则,y=_.,(4)y=sin,，则,y=_.,【,解析,】,(1)y=x,-5,，,y=-5x,-6,.,(2)y=4,x,y=4,x,ln4.,(3)y=log,3,x,y=.,(4)y=sin ,y=0.,答案：,(1)-5x,-6,(2)4,x,ln4 (3)(4)0,3.,导数的运算法则,若,y=f(x),，,y=g(x),的导数存在，则,(1),Cf(x),=Cf(x)(C,为常数,),；,(2)f(x),g(x)=_,；,(3)f(x),g(x)=_,；,(4)=_(g(x)0).,f(x),g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),【,即时应用,】,(1)y=x,3,+sinx,，则,y=_.,(2)y=x,4,-x,2,-x+3,，则,y=_.,(3)y=(2x,2,+3),(3x-2),，则,y=_.,【,解析,】,(1)y=(x,3,)+(sinx)=3x,2,+cosx.,(2)y=4x,3,-2x-1.,(3)y=(2x,2,+3)(3x-2)+(2x,2,+3)(3x-2),=4x(3x-2)+(2x,2,+3),3=18x,2,-8x+9.,或：,y=6x,3,-4x,2,+9x-6,y=18x,2,-8x+9.,答案：,(1)3x,2,+cosx (2)4x,3,-2x-1 (3)18x,2,-8x+9,导数的运算,【,方法点睛,】,求函数导数的方法,遵循先化简后求导的原则,.,乘积的形式化为和、差形式；根式化为分数指数幂的形式；较为复杂的公式化为简单的和或差；熟记导数公式和求导法则是关键,.,【,例,1】(1)(2012,无锡模拟,),函数,f(x,)=,的导函数是,_,_.,(2),求下列函数的导数,.,y=x,2,sinx,；,y=,【,解题指南,】,(1),利用导数公式计算,.,(2),利用积的导数法则；利用商的导数法则或先化简分式再求导,.,【,规范解答,】,(1)f(x)=.,答案,:,(2)y=(x,2,)sinx+x,2,(sinx)=2xsinx+x,2,cosx.,方法一：,y=,=.,方法二：,y=,y=1+(),即,y=,【,互动探究,】,把本例,(2),中的函数改为,y=,，如何求,导？,【,解析,】,y=.,【,反思,感悟,】,准确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的运算法则，根据所给函数解析式的特点，灵活选择解题方法决定了解题是否正确、顺利,.,【,变式备选,】,求下列函数的导数：,(1)y=(1+)(1+),；,(2)y=3,x,e,x,-lnx+e.,【,解析,】,(1)y=,(2)y=3,x,e,x,ln(3e)-.,导数的几何意义,【,方法点睛,】,1.,导数的几何意义,函数在切点处的导数是该点处切线的斜率,.,2.,导数几何意义的应用,已知切点坐标可以求斜率，已知斜率也可以求切点坐标,.,当所给的点,A(x,0,y,0,),是切点时，切线斜率,k=f(x,0,).,当所给的点,M(a,b),不是切点时，可以设出切点,P(x,0,y,0,),，,则,f(x,0,)=.,【,提醒,】,审题时注意所给点是否是切点,.,【,例,2】(1)(2011,湖南高考改编,),曲线,y=,在点,M(,0),处的切线的斜率为,_.,(2)(2011,山东高考改编,),曲线,y=x,3,+11,在点,P(1,，,12),处的切线与,y,轴交点的纵坐标是,_.,【,解题指南,】,利用导数的几何意义，,(1),可以求出切线斜率；,(2),先求出切线方程，再得到与,y,轴交点的纵坐标,.,【,规范解答,】,(1)y=,=,所以,答案：,(2)y=3x,2,，切线斜率为,3,切线方程为,y=3x+9,，与,y,轴交点的纵坐标是,9.,答案：,9,【,互动探究,】,若将本例,(2),“,在点,P(1,，,12),处,”,改为,“,过点,P(1,，,12),”,，将如何求解？,【,解析,】,当,P,为切点时，由本例,(2),知，切线与,y,轴交点的纵,坐标为,9.,当,P,不是切点时，设切点坐标为,(x,0,y,0,),，,则 ，即 ，解得,x,0,=-,切点为,(-,),，切线方程为 与,y,轴交点,的纵坐标为,【,反思,感悟,】,(,1),要体会切线定义中的运动变化思想，由割线切线，由两个不同的公共点无限接近重合,(,切点,).,(2),利用导数的几何意义求曲线的有关切线的问题时，一定要抓住切点的三个主要特征：在曲线上，在切线上，该点处的导数是切线斜率,.,【,变式备选,】,函数,y=x,2,(x0),的图象在点,(a,k,a,k,2,),处的切线与,x,轴的交点的横坐标为,a,k+1,其中,kN,*,，若,a,1,=16,，则,a,1,+a,3,+a,5,的值是,_.,【,解析,】,由,y=x,2,(x0),，得,y=2x,，,所以函数,y=x,2,(x0),在点,(a,k,a,k,2,),处的切线方程为：,y-a,k,2,=2a,k,(x-a,k,),当,y=0,时，解得,x=,所以,a,k+1,=,a,1,+a,3,+a,5,=16+4+1=21.,答案：,21,【,易错误区,】,导数几何意义应用的易错点,【,典例,】(2012,杭州模拟,),若存在过点,(1,，,0),的直线与曲线,y=x,3,和,y=ax,2,+x-9,都相切，则,a=_.,【,解题指南,】,因为点,(1,0),不在曲线,y=x,3,上，所以应从设切点,入手来求切线方程，再利用切线与曲线,y=ax,2,+x-9,相切求,a,的值,.,【,规范解答,】,设过,(1,0),的直线与,y=x,3,相切于点,(x,0,),，所,以切线方程为,y-=(x-x,0,),即 ，又,(1,0),在切线上，则,x,0,=0,或,x,0,=,当,x,0,=0,时，由,y=0,与,y=ax,2,+x-9,相切可得,a=-,当,x,0,=,时，由,y=x-,与,y=ax,2,+x-9,相切可得,a=-1.,答案：,-1,或,-,【,阅卷人点拨,】,通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：,误,区,警,示,在解答本题时有两个易错点：,(1),审题不仔细，未对点,(1,，,0),的位置进行判断，误认为,(1,0),是切点；,(2),当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系,.,备,考,建,议,解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注：,(1),首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；,(2),基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握；,(3),对于直线的方程与斜率公式的求解要熟练,.,1.(2011,重庆高考改编,),曲线,y=-x,3,+3x,2,在点,(1,2),处的切线方程为,_.,【,解析,】,由,y=-3x,2,+6x,知,切线斜率为,k=-3+6=3.,所以切线方程为,y-2=3(x-1),即,y=3x-1,，即,3x-y-1=0.,答案：,3x-y-1=0,2.(2012,无锡模拟,),曲线,y=x-,上任一点处的切线与直线,x=0,，,y=x,分别相交于,A,，,B,两点，,O,是坐标原点，则,OAB,的,面积是,_.,【,解析,】,设曲线,y=x-,上任一点为,(x,0,y,0,),，,y=1+,故过任一点,(x,0,y,0,),处的切线方程为,y-y,0,=(1+)(x-x,0,),，,令,x=0,得：,y=,令,x=y,，解得,x=y=2x,0,答案：,2,3.(2012,南京模拟,),曲线,C,：,f(x)=e,x,+sinx+1,在,x=0,处的切线方程为,_.,【,解析,】,f(x)=e,x,+cosx.,f(0)=e,0,+cos0=2.,f(0)=e,0,+sin0+1=2.,故切线方程为,y-2=2(x-0).,即,2x-y+2=0.,答案：,2x-y+2=0,
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