第三章线性方程组课件

,西南交通大学峨眉校区基础课部数学教研组 2006年制作,LINEAR ALGEBRA,第三章,矩阵的初等变换,与,线性方程组,第三章,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,内容,1矩阵的初等变换,2初等矩阵,3矩阵的秩,4线性方程组的解,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组内容1矩阵的初等变换,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,要求,1熟练掌握用初等变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形；理解矩阵等价的概念；,2理解初等矩阵，理解初等矩阵与初等变换的联系；掌握用初等变换求矩阵的秩的方法；,3理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变矩阵的秩的原理，掌握用初等变换求矩阵的秩的方法。知道矩阵的标准形与矩阵的秩的关系。理解矩阵秩的基本性质。,4掌握线性方程组无解、有唯一解或有无穷多解的充分必要条件，熟练掌握应用矩阵的初等变换求解线性方程组的方法；,5知道矩阵方程AX=B有解的充分必要条件。,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组要求1熟练掌握用初等变,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,重点、难点,1矩阵的秩的求法,2线性方程组的有解情况的判断及求解,3初等变换的应用,4矩阵的秩的性质及应用,第三章 矩阵的初等变换与线性方程组重点、难点1矩阵的秩的,一、矩阵的初等变换,1引例（用消元法解线性方程组）,引例,用消元法解线性方程组,【解】,（1）,交换方程,和,（2）,从,中,消去,x,-3,-4,一、矩阵的初等变换1引例（用消元法解线性方程组）引例,（3）,一、矩阵的初等变换,从,中,消去,y,-,（4）,约去,中公因子,1/14,，,1/7,（5）,回代求解,一、矩阵的初等变换从中消去 y-约去中公因子,一、矩阵的初等变换,（5）,由,=,y=z+,2,将,代入,=,x=-2z-,1,z,可取任意实数,若令,z=c,，(,c,为任意常数)，则方程组的解可记为,一、矩阵的初等变换由 =y=z+2,一、矩阵的初等变换,下面来分析一些用消元法解方程组的过程：,（1）,用到三种变换,：,交换方程的次序；,以不等于零的常数乘以某个方程；,一个方程加上另一个方程的,k,倍。,（2）这,三种变换均可逆,，所以变换前后的方程是同解，,从而可求出方程组的全部解，称为方程组的同解变换。,（3）运算过程中,只有系数和右端常数参与运算,，未知量仅仅是起到占位作用，而为参与任何实质计算。,一、矩阵的初等变换下面来分析一些用消元法解方程组的过程：（,一、矩阵的初等变换,2初等变换,定义（,初等行变换,）我们将下述三种变换称为矩阵的初等行变换：,（1）对调两行，记作,r,i,r,j,；,（2）以非零数 k 乘某行的所有元素，记作,kr,i,；,（3）把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去，记作,r,i,+kr,j,。,说明：,将上述定义中的“行”改为“列”，即为初等列变换的定义；,矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换；,初等变换均可逆，其逆变换均为初等变换。,一、矩阵的初等变换2初等变换定义（初等行变换）我们将下述,一、矩阵的初等变换,例,一、矩阵的初等变换例,一、矩阵的初等变换,3等价矩阵,定义（,等价矩阵,）如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价。,矩阵等价关系满足以下性质：,反身性；对称性；传递性。,满足此三条性质的任何关系都可以称为等价关系。,注,：两个线性方程组同解，则称它们等价。,一、矩阵的初等变换3等价矩阵定义（等价矩阵）如果矩阵A经,一、矩阵的初等变换,例1,利用初等行变换解线性方程组,【解】,首先写出原方程组的增广矩阵，然后对增广矩阵做初等行变换。,一、矩阵的初等变换例1 利用初等行变换解线性方程组【解】首,一、矩阵的初等变换,以B,5,为增广矩阵的线性方程组为：,令 z=c（c为任意常数），则有,一、矩阵的初等变换以B5为增广矩阵的线性方程组为：令 z=,一、矩阵的初等变换,4行阶梯形矩阵,定义（,行阶梯形矩阵,）,上述矩阵B,4,具有如下特点：,横线下方全是 0；,每个阶梯只有一行，阶梯数即非零行行数；,竖线后面第一个元素为非零元；,将满足此特点的矩阵称为,行阶梯形矩阵,。,一、矩阵的初等变换4行阶梯形矩阵定义（行阶梯形矩阵）上,一、矩阵的初等变换,定义（,行最简形矩阵,）,矩阵B,5,除满足行阶梯形矩阵的特点外，还满足：,(4)每行第一个非零元素为1，且该元素所在的列的其余元素为0；,将满足条件(4)的行阶梯形矩阵称为,行最简形矩阵,。,一、矩阵的初等变换定义（行最简形矩阵）矩阵B5除满足行阶梯,一、矩阵的初等变换,定义（,矩阵的标准形,）,上述矩阵的特点是：,左上角是一个单位矩阵，其余元素均匀 0；,满足此条件的矩阵成为,矩阵的标准形,。,结论,：矩阵,A,mn,经过初等变换（行和列）总可以化为标准形,它由,m，n，r,完全确定。,一、矩阵的初等变换定义（矩阵的标准形）上述矩阵的特点是：结,一、矩阵的初等变换,例 2,用初等行变换化矩阵,A,为行最简形。,【答案】,一、矩阵的初等变换例 2 用初等行变换化矩阵 A 为行最简,二、初等矩阵,1初等矩阵,定义（,初等矩阵,）,由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，有三种类型：,E(i,j)，E(i(k)，E(i,j(k)。,相关结论：,变换,符号,行列式的值,逆矩阵,E(i,j),-1,E(i,j),E(i(k),k,E(i,j(k),1,E(i,j(-k),二、初等矩阵1初等矩阵定义（初等矩阵）由单位矩阵经过一次,二、初等矩阵,2矩阵的初等变换与矩阵乘法之间的关系,定理,对矩阵A施行一次初等行（列）变换相当于以相应的初等矩阵左（右）乘矩阵A。,【证明提示】,对矩阵A作行（列）分块，然后分别证明即可。,二、初等矩阵2矩阵的初等变换与矩阵乘法之间的关系定理,二、初等矩阵,3可逆方阵的初等变换求法,定理,设,A,为,n,阶方阵，则,A,可逆,存在有限个初等矩阵,P,1，,P,2,，P,k,，使得,A=P,1,P,2,P,k,。,【证明】,（,必要性,）,设,A,可逆，且,A,的标准形为,F,，由,FA,，知,F,经过有限次初等变换可化为,A,，即有初等矩阵,P,1,，P,2,，P,k,，使得,A=P,1,P,2,P,s,FP,s+1,P,k,因为,A,可逆，,P,1,，P,2,，P,k,也都可逆，故,F,可逆。,假设,中 rn，则|F|=0，与 F 可逆矛盾。,所以,F=E,，且,A=P,1,P,2,P,k,。,二、初等矩阵3可逆方阵的初等变换求法定理 设 A 为,二、初等矩阵,（,充分性,）,设,A=P,1,P,2,P,k,，,因为初等矩阵均可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆。,所以,A,可逆。,推论1,推论2,方阵 A 可逆,A E,（按行），即,A 可以通过初等行变换变成 E,。,A,mn,B,mn,存在可逆矩阵,P,和,Q,，使得,A=PBQ,。,二、初等矩阵（充分性）设 A=P1P2Pk，推论1推,二、初等矩阵,方法,AX=B（其中A可逆）的初等变换解法。,由,A,可逆，则存在初等矩阵,P,1,，P,2,，P,k,，使得,A=P,1,P,2,P,k,从而,A,-1,=P,k,-1,P,1,-1,，P,k,-1,P,1,-1,A=E，,P,k,-1,P,1,-1,B=A,-1,B,，,所以,综上，要求,A,-1,B,，只需,特殊情况,：当B=E时，,二、初等矩阵方法AX=B（其中A可逆）的初等变换解法。由,二、初等矩阵,例3,求矩阵,A,的逆矩阵，其中,【解】,二、初等矩阵例3 求矩阵A的逆矩阵，其中【解】,二、初等矩阵,例4,解矩阵方程,AX=A+X,，其中,【答案】,原方程可变为,二、初等矩阵例4 解矩阵方程 AX=A+X，其中【答案】原,三、矩阵的秩,1矩阵的秩,定义（,k阶子阵,）,在矩阵 A 中任取 k 行 k 列，位于这些行与列相交处的元素，按照原来相应位置构成的 k 阶矩阵。,定义（,k阶子式,）,矩阵 A 的 k 阶子阵的行列式。,mn,型矩阵,A,的,k,阶子式共有,C,m,k,C,n,k,个。,定义（,矩阵的秩,）,如果矩阵,A,中有一个,r,阶子式,D,r,0，且所有的,r,+1 阶子式（如果存在）,D,r+1,=0，则称,D,r,为,A,的一个最高阶非零子式。数,r,称为矩阵,A,的秩，记为,R(A),。,三、矩阵的秩1矩阵的秩定义（k阶子阵）在矩阵 A 中任取,三、矩阵的秩,注：,1规定 R(O,mn,)=0；,2设 A=(a,ij,),nxn,，若R(A)=n，称A为满秩阵；若R(A),R,(,A,)=,R,(,B,)；,若,P,Q,可逆，则,R,(,PAQ,)=,R,(,A,),；,max,R,(,A,),R,(,B,),R,(,A,B,),R,(,A,)+,R,(,B,),；,当,B=b,为列向量时，,R,(,A,),R,(,A,b,),R,(,A,)+1,；,R,(,A+B,),R,(,A,)+,R,(,B,),；,R,(,AB,),min,R,(,A,),R,(,B,),;,若,A,mn,B,ns,=,0,ms,，则,R,(,A,)+,R,(,B,),n,。,三、矩阵的秩3矩阵秩的性质 0R(Amn)min,三、矩阵的秩,的证明：,由于,R,(,A,),的最高阶非零子式总是,(,A,B,),的非零子式，,故,R,(,A,),R,(,A,B,),；同理，,R,(,B,),R,(,A,B,),；,所以,max,R,(,A,),R,(,B,),R,(,A,B,),。,设 R(A)=r，R(B)=t，则 R(A,T,)=r，R(B,T,)=t；,对 A,T,，B,T,分别作行初等变换，并化成行阶梯形C和D，,则 C 和 D 分别有 r 个和 t 个非零行，从而,矩阵,中只含有 r+t 个非零行，因此,三、矩阵的秩 的证明：由于 R(A)的最高阶非零子式总,三、矩阵的秩,例8,设,A,为,n,阶方阵，证明,R,(,A,+,E,)+,R,(,A,-,E,),n,。,【证明】,由性质,，,而,三、矩阵的秩例8 设 A 为 n 阶方阵，证明 R(A+,三、矩阵的秩,例9,设,A,为,m,n,矩阵，,证明：若,AX,=,AY,，且,R,(,A,)=,n,，则,X,=,Y,。,【证明】,由秩的性质,，得到,而,R,(,A,)=,n,三、矩阵的秩例9 设 A 为 mn 矩阵，【证明】由秩,四、线性方程组的解,1基本理论,设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组,写成矩阵方程为,AX=b (2),若(1)或(2)有解，则称(1)是相容的；,若(1)或(2)无解，则称(1)是不相容的。,四、线性方程组的解1基本理论设有 n 个未知数 m 个方程,四、线性方程组的解,【定理】,线性方程组,AX,=,b,无解,R(A)R(A,b),；,有唯一解,R(A)=R(A,b)=n,；,无限多解 ,R(A)=R(B)n,。,注记,此定理给出了AX=b的解的判别的所有情况；,对 AX=b 的解的情况判别可以借助矩阵的秩,和矩阵的行初等变换进行；,(3)此定理充分性的证明过程给出了求解方法。,【证明】,参见教材 P72。,四、线性方程组的解【定理】线性方程组 AX=b 无解 ,四、线性方程组的解,2解法举例,解法过程的详细描述参见教材P72-73页。,例10,求解齐次线性方程组,【解】,同解方程组为：,四、线性方程组的解2解法举例解法过程的详细描述参见教材P7,四、线性方程组的解,由此，得到,令,则原方程组的通解为,写成向量形式为,四、线性方程组的解由此，得到令则原方程组的通解为写成向量形式,四、线性方程组的解,例11,求解非齐次线性方程组,【答案】,R(A)=2R(A,b)=3，无解。,四、线性方程组的解例11 求解非齐次线性方程组【答案】R,四、线性方程组的解,例12,求解非齐次线性方程组,【答案】,通解为：,四、线性方程组的解例12 求解非齐次线性方程组【答案】通,四、线性方程组的解,例13,设有线性方程组,问,取何值时，此方程组（,1,）有唯一解；