数学建模第八讲层次分析法

第八讲 层次分析法,8.1,层次分析模型,问题分析,问题,:,选择旅游地,假期到了，现有桂林、黄山、北戴河,三个,旅游地供你选择，如何在三个目的地中选择？,8.1,层次分析模型,影响决定的因素有景色、费用、居住、饮食，和旅途条件,不同的人对这些因素的关注程度是不同的，从而会选择不同的,目的地,。,目标层,O(,选择旅游地,),P,2,黄山,P,1,桂林,P,3,北戴河,准则层,方案层,C,3,居住,C,1,景色,C,2,费用,C,4,饮食,C,5,旅途,用层次结构描述问题,金属块,银,金,铜,C,3,C,1,C,2,C,4,C,5,引例：金银铜含量的确定,有一块含金银铜的单位重量金属，分成,5,块。（,1）,每块的重量未知，,5,块重量两两之比已知；（,2）,每块中金、银、铜的含量未知，三种金属含量两两之比已知。求金属块中金、银、铜的含量。,模型建立及求解,构造成对比较阵,元素之间两两对比，对比采用相对尺度。,设要比较各准则,C,1,C,2,C,n,对目标,O,的重要性,比较尺度,当比较,C,i,和,C,j,对上层因素,O,的影响时如何选取,a,ij,？,AHP(,层次分析法,),的创始人,Saaty,建议取,a,ij,的范围为,19,，,11/9,。,19,尺度,a,ij,的含义,尺度,a,ij,含 义,1,C,i,与,C,j,的影响相同,3,5,7,9,2,4,6,8,1,1/2,1/9,C,i,比,C,j,的影响稍强,C,i,比,C,j,的影响强,C,i,比,C,j,的影响明显的强,C,i,比,C,j,的影响绝对的强,上述相邻判断的中间值,C,j,与,C,i,的影响之比为,a,ij,的互反数,某人利用成对比较得到阵,A,是正互反阵,同样方法构造第,3,层,(,方案层,),对第,2,层的每个准则的成对比较阵，例如,要由,A,确定,C,1,C,5,对,O,的相对重要性的权数。,如果正互反阵,A,满足,则称,A,为,一致阵,。,A,的秩为,1,，,A,的唯一非零特征根为,n,。,A,的任一列向量是对应于,n,的特征向量。,A,的归一化特征向量可作为权向量。,对于,不一致,(,但在允许范围内,),的成对比较阵,A,，建议用对应于最大特征根,的特征向量作为权向量,w,，即,一致阵性质,特值近似算法,一致性检验,所谓,一致性检验,就是对,A,确定不一致的允许范围。,已知：,n,阶一致阵的唯一非零特征根为,n,可证：,n,阶正互反阵最大特征根,n,且,=,n,时为一致阵,定义一致性指标,:,CI,越大，不一致越严重,为衡量,CI,的大小，引入,随机一致性指标,RI,随机模拟得到,a,ij,形成,A,，计算,CI,即得,RI,。,RI,0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45,1.49,1.51,n,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,10,定义一致性比率,CR=CI,/,RI,。,当,CR,0.1,时，通过一致性检验。,Saaty,的结果如下,准则层对目标的权向量及一致性检验,最大特征根,=5.073,权向量,(,特征向量,),w,=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110),T,一致性指标,随机一致性指标,RI=,1.12(,查表,),一致性比率,CR,=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性检验。,方案层对于准则,C,k,的权向量及一致性检验,因此，,w,=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110),T,可以作为准则层（,C,k,）对目标层（,O,）的相对权重。,求出相应的最大特征根、一致性指标和相应的归一化特征向量。,第,3,层对第,2,层的计算结果,k,1,0.595,0.277,0.129,3.005,0.003,0.001,0,0.005,0,3.002,0.682,0.236,0.082,2,3,0.142,0.429,0.429,3,3.009,0.175,0.193,0.633,4,3,0.668,0.166,0.166,5,RI,=,0.58(,n,=3),CI,k,均可通过一致性检验。,组合权向量,方案,P,1,对目标的组合权重为,0.595,0.263+=0.300,方案层对目标的组合权向量为,(0.300,0.246,0.456),T,第,1,层,O,第,2,层,C,1,C,n,第,3,层,P,1,P,m,第,2,层对第,1,层的权向量,第,3,层对第,2,层各元素的权向量,构造矩阵,则第,3,层对第,1,层的组合权向量,对于,3,个层次的组合权向量,更一般地，对于,s,个层次的决策问题，第,k,层对第,1,层,(,设只有一个元素,),的组合权向量为,w,(,k,),=,W,(,k,),w,(,k,-1),k=,3,4,s,.,其中,W,(,k,),是以第,k,层对第,k,-1,层的权向量为列向量组成的矩阵。,w,(,s,),=,W,(,s,),W,(,s-,1),W,(3),w,(2),。,于是第,s,层对第,1,层的组合权向量为,组合一致性检验,在旅游问题中，第,2,层对第,1,层的成对比较矩阵,A,及第,3,层对第,2,层的成对比较矩阵,B,1,B,5,都通过了一致性检验，但,B,1,B,5,是独立作出的，还需检验其组合一致性。,记,B,1,B,5,的一致性指标分别为,CI,1,(3),CI,5,(3),则,反映了,B,1,B,5,对第,1,层的整体不一致程度。,相应地构造,第,3,层通过组合一致性检验,我们认为整体通过了一致性检验。,其中,为随机一致性指标,(,相等,),。,第,3,层的组合一致性比率为,第,3,层对第,1,层的组合一致性比率为,层次分析法的基本步骤,1,）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标,准则或指标,方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2,）构造成对比较阵,用成对比较法和,19,尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3,）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4,）计算组合权向量（作组合一致性检验）,组合权向量可作为决策的定量依据。,正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算,有三种常用方法：幂法、和法、根法。,和法,取列向量的算术平均,列向量归一化,算术平均,精确结果,:,w,=(0.588,0.322,0.090),T,=3.010,返回,