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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,24.1,圆的有关性质,第二十四章 圆,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,24.1.2,垂直于弦的直径,24.1 圆的有关性质第二十四章 圆导入新课讲授新课当堂,1.,进一步认识圆，了解圆是轴对称图形,.,2.,理解,垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题,.,（重点）,3.,灵活运用垂径定理解决有关圆的问题,.,（难点）,学习目标,1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.学习目标,折一折：,你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？,在折的过程中你有何发现？,圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴,导入新课,折一折：你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？圆是轴对称,讲授新课,圆的对称轴,一,（,1,）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？,（,2,）你是怎么得出结论的？,圆的对称性：,圆是轴对称图形，,任意一条直径所在直线都是圆的,对称轴,.,用折叠的方法,O,说一说,讲授新课圆的对称轴一（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称,问题：,如图,AB,是,O,的一条弦,直径,CD,AB,垂足为,E.,你能发现图中有那些相等的线段和劣弧,?,为什么,?,线段,:,AE,=,BE,弧,:,AC=BC,AD=BD,理由如下：,把圆沿着直径,CD,折叠时，,CD,两侧的两个半圆重合，点,A,与点,B,重合，,AE,与,BE,重合，,AC,和,BC,AD,与,BD,重合,O,A,B,D,E,C,垂径定理及其推论,二,问题：如图,AB是O的一条弦,直径CDAB,垂足为E,垂径定理,O,A,B,C,D,E,垂直于弦的直径,平分弦,并且平分弦所对的两条弧,.,CD,是直径，,CD,AB,，,AE,=,BE,AC,=,BC,AD,=,BD,.,推导格式：,温馨提示：,垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如,.,归纳总结,垂径定理OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的,想一想：,下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？,是,不是，因为没有垂直,是,不是，因为,CD,没有过圆心,A,B,O,C,D,E,O,A,B,C,A,B,O,E,A,B,D,C,O,E,想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什,垂径定理的几个基本图形：,A,B,O,C,D,E,A,B,O,E,D,A,B,O,D,C,A,B,O,C,归纳总结,垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO DCA,如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？,过圆心；垂直于弦；平分弦；,平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧,.,上述五个条件中的,任何两个条件,都可以推出其他三个结论吗？,思考探索,如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦,D,O,A,B,E,C,举例证明其中一种组合方法,已知,:,求证：,CD,是直径,CDAB,，垂足为,E,AE=BE,AC=BC AD=BD,证明猜想,DOABEC举例证明其中一种组合方法 CD,如图，,AB,是,O,的一条弦，作直径,CD,，使,AE=BE.,（,1,）,CD,AB,吗？为什么？,（,2,）,O,A,B,C,D,E,AC,与,BC,相等吗？,AD,与,BD,相等吗？为什么？,（,2,）由垂径定理可得,AC=BC,，,AD=BD.,（,1,）连接,AO,BO,则,AO,=,BO,又,AE,=,BE,，,AOE,BOE,（,SSS,）,，,AEO,=,BEO,=90,，,CD,AB,.,证明举例,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.OAB,思考：,“,不是直径,”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例,.,平分弦,（不是直径）,的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧,.,垂径定理,的推论,O,A,B,C,D,特别说明：,圆的两条直径是互相平分的,.,归纳总结,思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.,例,1,如图，,OE,AB,于,E,，若,O,的半径为,10,cm,OE,=6,cm,则,AB,=,cm,.,O,A,B,E,解析：连接,OA,，,OE,AB,，,AB,=2,AE,=16,cm,.,16,一,垂径定理及其推论的计算,三,cm.,典例精析,例1 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OA,例,2,如图，,O,的弦,AB,8,cm,，,直径,CE,AB,于,D,，,DC,2,cm,，,求半径,OC,的长,.,O,A,B,E,C,D,解：连接,OA,，,CE,AB,于,D,，,设,OC,=,x,cm,，,则,OD,=,x,-2,根据勾股定理，得,解得,x,=5,，,即半径,OC,的长为,5cm.,x,2,=4,2,+(,x,-2),2,，,例2 如图，O的弦AB8cm，直径CEAB于D,例,3,：,已知：,O,中弦,ABCD,求证：,AC,BD.,.,M,C,D,A,B,O,N,证明：作直径,MNAB.,ABCD,，,MNCD.,则,AM,BM,，,CM,DM,（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）,AM,CM,BM,DM,AC,BD,例3：已知：O中弦ABCD,.MCDABON证明：作,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件,.,归纳总结,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直,试一试：,根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗,?,垂径定理的实际应用,四,试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱,解：如图，用,AB,表示主桥拱，设,AB,所在圆的圆心为,O,，,半径为,R.,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,垂足为,D,，与弧,AB,交于点,C,，,则,D,是,AB,的中点，,C,是弧,AB,的中点，,CD,就是拱高,.,AB,=37m,，,CD,=7.23m.,解得,R,27.3,（,m,）,.,即主桥拱半径约为,27.3m.,=18.5,2,+(,R,-7.23),2,AD,=,AB,=18.5m,，,OD,=,OC,-,CD,=,R,-7.23.,解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R,练一练：,如图,a,、,b,一弓形弦长为,cm,，弓形所在的圆的半径为,7cm,，,则弓形的高为,_,.,C,D,C,B,O,A,D,O,A,B,图,a,图,b,2cm,或,12cm,练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的,在圆中有关弦长,a,半径,r,弦心距,d,（,圆心到弦的距离,），弓形高,h,的计算题时，常常通过,连半径,或作,弦心距,构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解,.,涉及垂径定理时辅助线的添加方法,弦,a,，,弦心距,d,，,弓形高,h,，,半径,r,之间有以下关系：,弓形中重要数量关系,A,B,C,D,O,h,r,d,d+h=r,O,A,B,C,归纳总结,在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦,视频：垂径定理微课讲解,视频：垂径定理微课讲解,1.,已知,O,中，弦,AB,=8cm,，,圆心到,AB,的距离为,3cm,，则此圆的半径为,.,5cm,2.,O,的直径,AB,=20cm,BAC,=30,则弦,AC,=,.,10 3 cm,3.,（分类讨论题,）,已知,O,的半径为,10cm,，弦,MNEF,且,MN,=12cm,EF,=16cm,则弦,MN,和,EF,之间的距离为,.,14cm,或,2cm,当堂练习,1.已知O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则,4.,如图，在,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，求证四边形,ADOE,是正方形,D,O,A,B,C,E,证明：,四边形,ADOE,为矩形，,又,AC=AB,AE=AD,四边形,ADOE,为正方形,.,4.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD,5.,已知：如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,交小圆于,C,，,D,两点。你认为,AC,和,BD,有什么关系？为什么？,证明：过,O,作,OEAB,，垂足为,E,，,则,AE,BE,，,CE,DE.,AE,CE,BE,DE,即,AC,BD.,.,A,C,D,B,O,E,注意：,解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法,5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB,6.,如图，一条公路的转弯处是一段圆弧,(,即图中弧,CD,点,O,是弧,CD,的圆心,),其中,CD,=,600m,E,为弧,CD,上的一点,且,OE,CD,，,垂足为,F,EF,=,90m,.,求这段弯路的半径,.,解,:,连接,OC.,O,C,D,E,F,设这段弯路的半径为,R,m,则,OF,=(,R,-90)m.,根据勾股定理，得,解得,R,=545.,这段弯路的半径约为,545m.,6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧,拓展提升：,如图，,O,的直径为,10,，弦,AB,=,8,P,为,AB,上的一个动点，那么,OP,长的,取值范围,.,3cm,OP,5cm,B,A,O,P,拓展提升：3cmOP5cmBAOP,垂径定理,内容,推论,辅助线,一条直线,满足,:,过圆心,;,垂直于弦,;,平分弦,（,不是直径,）,;,平分弦所对的优弧,;,平分弦所对的劣弧,.,满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（,“,知二推三,”）,垂直于弦的直径,平分弦,并且平分弦所对的两条弧,两条辅助线：,连半径，作弦心距,构造,Rt,利用勾股定理计算或建立方程,.,基本图形及变式图形,课堂小结,垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦;,
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