初中数学几何证明题模型

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,1.,补成三角形,例,1.,如图,1,，已知,E,为梯形,ABCD,的腰,CD,的中点；,证明：,ABE,的面积等于梯形,ABCD,面积的一半。,初中几何证明题辅助线训练营,分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形。这也是梯形中常用的辅助线添法之一。,分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF2CE，再证BDCF即可。,2.,补成等腰三角形,例,2,如图,2.,已知,A,90,，,AB,AC,，,1,2,，,CEBD,，求证：,BD,2CE,3.补成直角三角形,例3.如图3，在梯形ABCD中，ADBC，BC90，F、G分别是AD、BC的中点，若BC18，AD8，求FG的长。,分析：从,B,、,C,互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长,BA,、,CD,，要求,FG,，需求,PF,、,PG,。,图,3,4.,补成等边三角形,例,4.,图,4,，,ABC,是等边三角形，延长,BC,至,D,，延长,BA,至,E,，使,AE,BD,，连结,CE,、,ED,。证明：,EC,ED,分析：要证明,EC,ED,，通常要证,ECD,EDC,，但难以实现。这样可采用补形法即延长,BD,到,F,，使,BF,BE,，连结,EF,。,5.补成平行四边形,例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一条直上，求证：EF和GH互相平分。,分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形,GEHF,是平行四边形。,6.补成矩形,例6.如图6，四边形ABCD中，A60，BD90，AB200m，CD100m，求AD、BC的长。,分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。,图,6,7.补成菱形,例7.如图7，凸五边形ABCDE中，A=B120，EAABBC2，CDDE4，求其面积,分析：延长EA，CB交于P，根据题意易证四边形PCDE为菱形。,图,7,8.补成正方形,例8.如图8，在ABC中，ADBC于D，BAC45，BD3，DC2。求ABC的面积。,图,8,分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设,BAC,45,，,ADBC,出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。,9.补成梯形,例9如图9，已知：G是ABC中BC边上的中线的中点，L是ABC外的一条直线，自A、B、C、G向L作垂线，垂足分别为A,1,、B,1,、C,1,、G,1,。求证：GG,1,1/4(2AA,1,BB,1,CC,1,)。,图,9,分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过,D,作,DD1L,于,D1,，则,DD1,既是梯形,BB1C1C,的中位线，又是梯形,DD1A1A,的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。,1,、在,ABC,中，,AC=BC,，,D,是,AC,上一点，且,AE,垂直,BD,的延长线于,E,，又,AE=BD,，求证：,BE,平分,ABC,。,课后作业：,2,、如图，已知：在,ABC,内，,BAC=60,，,ACB=40,，,P,、,Q,分别在,BC,、,CA,上，并且,AP,、,BQ,分别是,BAC,、,ABC,的角平分线，求证：,BQ+AQ=AB+BP,3,、已知：,BAC=90,，,AB=AC,，,AD=DC,，,AEBD,，求证：,ADB=CDE,4,、设正三角形,ABC,的边长为,2,，,M,是,AB,边上的中点，,P,是,BC,边上的任意一点，,PA+PM,的最大值和最小值分别记为,S,和，求：,S,t,的值。,5.ABC中，分别以AB,AC,BC为边在同侧作等边三角形ABD,BCF,ACE 探究下列问题（1）当ABC满足_条件时，四边形DAEF是矩形.（2）当ABC满足_条件时，四边形DAEF是菱形.（3）当ABC满足_条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.,如图:三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形，首先我们来证明DAEF为平行四边形角DBF=60度-角FBA=角ABC而DB=AB,BF=BC三角形DBF全等于三角形ABC所以:DF=AC=AE同理可证:DA=FE,所以:DAEF为平行四边形,(1)如图,如果角DAE=90度,则DAEF为矩形,则必须:角BAC=360度-2*60度-90度=150度,(而如果,另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中,角DAE=2*60度+角BAC90度,DAEF不可能为矩形,而BC为短边,角BAC90度),(2)如果:DA=AE,则:DAEF为菱形，则必须:AB=AC,(3)如果:角BAC=60度,则:角DAE=3*60度=180度,D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在,据此,(2)的结论应稍加改变为:,当AB=AC,且角BAC不等于60度时,四边形DAEF是菱形,6.已知:如图,三角形ABC中,BAC=90度,ADBC于点D,BE平分角ABC交AD于点M,EFBC于F.求证:四边形AEFM是菱形.,解答：,CE,是角平分线，,EACA,，,EFCF,，,CE=CE,，,CAECFE,，,EA=EF,，,AEC=FEC,，,又,ADCB,，,EFCB,，,ADEF,，,AGE=GEF,，,AEG=AGE,，,AG=AE,，,AG=EF,，,四边形,AGFE,是平行四边形,有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,又,AG=AE,，平行四边形,AGFE,是菱形,一组邻边相等的平行四边形是菱形,。,即：四边形,AEFG,是菱形。,7.如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC和BD的交点，E为CO上一点，连接BE，F为OBE角平分线上一点，连接OF、AF，G为BE上一点且BO=BG。（1）若FGOF，OF=1,求线段OG的长度；（2）若AFB90，求证：AFBF+OG,（1）、BF平分OBE,OBF=GBF,BO=BG，BF=BF,OBFGBF,OF=FGFGOF,OFG是等腰直角三角形,OG=(OF+FG)=2,（2）、作OH垂直于OF交AF于H,ABCD是正方形，BD、AC是对角线,OA=OB，AOB=90,HOF=90(做的OHOF),AOH=BOF(同为HOB的余角）,AFB=AOB=90,设AF与OB交于M，OMA=FMB(对顶角）,OAH(OAM)=OBF(MBF),在AHO和BOF中,OA=OB，AOH=BOF，OAH=OBF,AHOBOFAH=BF，OH=OF,OF=FG(第一步已经证明）,OH=FG,OFG=HOF=90(这一步有点问题，OFG在第一步是假设的，）,OG=FH,AF=AH+HF=BF+OG,8.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点E，F分别是边AB，BC的中点,点P在上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值为多少？,拓展：,若点在AC上运动，存在PE+PF的最小值，则这个最小值为多少？,解：依题意得，当,P,为,EF,与,BD,的交点时，,PE+PF,最小，为,EF,的长,.,点,E,、,F,分别为,AB,、,BC,的中点，,EF,是,ABC,的中位线，,EF=0.5AC=3.,即,PE+PF,的最小值为,3.,拓展：,用两张等宽的长方形纸条交叉重叠地放在一起,重合的部分为四边形abcd，若长为8，宽为2，求四边形abcd的最大,9.将俩张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD6，ABC60，则四边形ABCD的面积是?,10.如图，已知菱形ABCD中，E,F分别是BC,CD上的点，且B=EAF=60，BAE=18，求CEF的度数,证明：连接AC菱形ABCD中，B=60,AB=BC=CD=DA，AB=AC，FCA=B=60，又EAF=60，CAF=BAE=18,BAE全等于CFA，AE=AF,FEA=60，AEB=180-18-60=102,CEF=180-FEA-AEB=180-60-102=18,11.如图，ABC中，BAC=90，BG平分ABC，GFBC于点F，ADBC于点D，交BG于点E，连结EF。,（1）、求证：、AE=AG；四边形AEFG为菱形。,（2）、若AD=8，BD=6，求AE的长。,证明:(1)AE=AG的关键是证明AGE=AEG；AEG=BED，又ADB=90；AEG+GBD=90；又因为AGE+ABG=90且BG为角ABD的角平分线，因此可以推断AEG=AGE,，所以得出AEG为等腰三角形，所以AE=AG。,(2)线段GF平行于线段AD，所以AEGFGE；AGB=FGB，有前面的条件可知ABG=角FBG，又BG=BG，所以三角形ABG全等于三角形GFB，所以AG=AF，从而推出AE=GF，根据菱形的定义：四边形AEFG为平行四边形，又邻边相等，所以四边形为菱形。,(3)AD=8,BD=6,AB=BF=8,DE/GF,BD/BF=DE/FG.设AE=x，则ED=8-x,GF=X,即：6/10=(8-x)/x.,解得x=8/3.,A,B,C,D,E,F,G,（1）解：连接BD,点E为CD边的中点,BECD,BD=BCDBE=CBE FBE=2EBC DBE=CBE=DBF BF=BG,FBDGBC,13.如图，在矩形ABCD中。已知AD=12,AB=5，P是AD上任意一点，PEBD，PFAC，E和F分别是垂足，求PE+PF的值.,A,B,D,C,P,F,E,提示：用三角形的等面积法.S,ABO,=,S,APO,+,S,DPO,O,14.已知：如图，在直角三角形ABC中,C=90,AD/BC,CBE=ABE.求证：ED=2AB,取,ED,的中点,F,并与,A,连接,因为，,C=90,，,AD/BC,，所以,EAB=90,，,AF,为直角,EAB,斜边,ED,上的中线，,AF=DF=1/2ED,三角形,AED,为等腰三角形，,D=FAD,D+FAD=2D=AFB,又因为,CBE=D,（内错角），所以,CBE=1/2AFB,而已知,CBE=1/2ABE,，所以,AFB=ABE,，三角形子,BAF,为等腰三角形，,AB=AF=1/21/2ED,所以，,ED=2AB,A,D,B,C,E,F,15.如图，E是矩形ABCD边CB延长线上一点,CECA，F是AE的中点.求证：BFFD,过F点做AD 的平行线 交AB 于 G 点,则 有 FG 垂直于 AB,三角形 AFG 全等于 三角形 BFG,（全等条件：F中点 所以 G 也是重点 AG=FG 都有一直角 和 公共边FG 边角边）,所以 有 AF=BF 角FAB=角 FBA 又得 角FAD=角FBC（都加一直角）,又 AD=BC 所以 三角形 FAD 全等于三角形 FBC(边角边),所以 有 角 BFC=角AFD,角AFD+角DFC=90 换量 角BFC+角DFC=90 ,所以 BF FD,圆的经典例题模型,解：连接,OA,，设正方形,ABCD,的边长为,X,正方形,ABCD,的边长为,X,AB,BC,CD,X,POM,45,OC,CD,X,OB,BC+CD,2X,MN,10,OA,MN/2,5,AB+OB,OA,X+4X,25,X,5,X,5,AB,5,1、如图，已知在圆O中，直径MN=10，正方形ABCD的4个顶点分别在半径OM,OP,及圆O上，且POM=45，问：AB？,M,2、如图，已知A,B,C，为圆O上三点，D,E分别为弧AB,弧AC的中点，连DE,分别交A