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,1,数值积分基本概念,插值型求积公式,求积公式的代数精度,蒙特卡罗法求积分,高斯型数值求积,数值微分,数值,积分,数值积分基本概念数值积分,定积分与积分和式,右矩形和,h,1 0.5 0.2 ,S,n,5.2908 5.1044 4.9835 4.8999,定积分与积分和式右矩形和h 1,数值求积公式的一般形式,R,f,数值求积公式余项,x,0,x,1,x,n,求积结点,A,0,A,1,A,n,求积系数,数值求积公式的一般形式Rf 数值求积公式余项,插值型求积公式,对,a,，,b,做分划:,a,x,0,x,1,x,2,x,n,b,令,Lagrange,插值,插值型求积公式的余项,插值型求积公式令Lagrange插值插值型求积公式的余项,梯形公式的误差(余项),即,例,1.,梯形公式,线型插值,a,b,梯形公式的误差(余项)即例1.梯形公式线型插值ab,左矩形 梯形 右矩形,4.4429 4.8669 5.2908,4.6804 4.8924 5.1044,4.8139 4.8987 4.9835,4.8572 4.8996 4.9420,左矩形 梯形 右矩形,取,x,0,=,a,x,1,=0.5(,a+b,),x,2,=,b,则,h=,0.5(,b a,),A,0,=(,b-a,)/6,A,1,=2(,b-a,)/3,A,2,=,(,b-a,)/6,Simpson,公式,例,2,.,Simpson 公式,L,(,x,)=,l,0,(,x,),y,0,+,l,1,(,x,),y,1,+,l,2,(,x,),y,2,取 x0=a,x1=0.5(a+b),x2,定义,:,对不高于,m,次的多项式,P,(,x,),求积公式余项,例.梯形公式,代数精度为,1,具有,m,阶的代数精确度,且有,m,+1,次多项式不具有这样的性质,则称,求积公式的代数精度,定义:对不高于m次的多项式P(x),求积公式余项例.梯形,(,n+,1),点插值型求积公式代数精度至少为,n,阶,.,所以,R,x,k,=0,(,k=,0,1,2,n,),例,3,确定公式,使代数精度尽可能高.,类似有,:Simpson,公式具有,3,阶代数精度,对于,n,次,Lagrange,插值基函数,有恒等式,(n+1)点插值型求积公式代数精度至少为n阶.所以,R,解,:,取,f,(,x,)=1,x,x,2,若求积公式准确成立,则有,A,1,=0,求积公式,具有至少,2,阶代数精度,容易验证,对,f,(,x,)=,x,3,求积公式式不能准确成立.因此这一公式只具有2阶代数精度,。,解:取f(x)=1,x,x2 若求积公式准确,取等距结点,x,j,=a+jh,时,插值型求积公式称为,Newton-Cotes,公式,定理,:,当,n,为偶数时,n,阶,Newton-Cotes,公式至少有,(,n,+1),阶代数精确度,。,Newton-Cotes,公式代数精度至少为,n,取等距结点xj=a+jh时,插值型求积公式称为New,蒙特卡罗法求积分,N,=2000:q=4.8975,4.9256,4.7550,4.9800,在,D,中投入,N,个点,落入曲边梯形内的点数为,n,蒙特卡罗法求积分N=2000:q=4.8975,4.,高斯型数值求积公式,插值型求积公式,代数精度为3,取,f,(,x,)=1,x,x,2,x,3,(1),(2),(3),(4),(4)-(2)x,0,2,x,1,2,=x,0,2,(3)-(1)x,0,2,x,0,2,=1/3,高斯型数值求积公式 插值型求积公式 代数精度为3,取 f(,代数精度为,3,的数值求积公式,对于,a,b,区间上的定积分,构造变换,t,-,1,1,代数精度为 3 的数值求积公式 对于a,b区间上的定积,定义,如果求积结点,x,0,x,1,x,n,使插值型求积公式,的代数精度为,2,n,+1,则称该求积公式为,Gauss,型,求积公式.称这些求积结点为,Gauss,点,.,定理,7.2,如果多项式,w,n,+1,(,x,)=(,x x,0,)(,x x,1,)(,x x,n,),与任意的不超过,n,次的多项式,P,(,x,),正交，即,则,w,n+,1,(,x,),的所有零点,x,0,x,1,x,n,是,Gauss,点,.,定义 如果求积结点x0,x1,x,例,验证多项式,是,1,1,上正交多项式,.,两点,Gauss,公式,得,Gauss,点,插值公式,:,例 验证多项式,三点,Gauss,数值求积公式,Legendre,多项式递推式,三点Gauss数值求积公式Legendre多项式递推式,例.两点,Gauss,公式计算,解:变换,x=,0.5(,t+,1),取,Simpsion三点公式 0.94614588227359,MATLAB命令 0.94608307036718,Gauss两点公式 0.94604113689782,例.两点Gauss公式计算解:变换 x=0.5(t+,Matlab中的Quad函数,F=inline(1./(x.3-2*x-5);,Q=quad(F,0,2);,Q=quad(myfun,0,2);,function y=myfun(x),y=1./(x.3-2*x-5);,Matlab中的Quad函数F=inline(1./,数值微分,显式,法,一阶向前差商,一阶向后差商,数值微分显式法一阶向前差商一阶向后差商,二阶中心差商,一阶中心差商,二阶中心差商一阶中心差商,设,x,k,=,a,+,k h,(,k=,0,1,n,)值,令,m,k,=f,(,x,k,)(,k=,0,1,n,),k,=1,2,n-1,隐式方法,设 xk=a+k h,(k=0,1,n),Lagrange插值函数方法,x,k,=x,0,+,kh,(,k,=0，1，2),Lagrange插值函数方法 xk=x0+kh(k,一阶,导数近似,二,阶,导数近似,一阶导数近似二阶导数近似,
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