分形几何学教学ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,分形几何学,1,分形几何学1,一、什么是分形几何学,二、谁创立了分形几何学？,三、分形几何的产生,四、分形艺术,五、分形几何学的应用,六、数学、分形与龙,2,一、什么是分形几何学2,双鱼,螃蟹,眼睛,3,双鱼螃蟹眼睛3,我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。,基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，,拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。,4,我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都,普通几何学研究的对象，一般都具有,整数,的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。但是现实生活中象弯弯曲曲的海岸线这些对象就不能用传统欧几里德几何学的整数维描述或者说测量了。要描述这一大类复杂无规的几何对象，就引入了分形理论，把维数视为,分数维数,。这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。,5,普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。,分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。,例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的,层次结构,，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。,一、什么是分形几何学,通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的,自相似图形和结构,的几何学。,又如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在,几何形状,上称之为自相似关系；,一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。,6,分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相,分形,几何,具有五个基本特征或性质：,形态的不规则性；,结构的精细性,局部与整体的自相似性,维数的非整数性,生成的迭代性,。,7,分形几何具有五个基本特征或性质：7,分形理论认为维数可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，,1919,年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。,维数和测量有着密切的关系，下面我们举例说明一下分维的概念。,当我们画一根直线，如果我们用,0,维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是,0,，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为,1,。,8,分形理论认为维数可以是分数，这类维数是物理学家在研究,又如要测量“寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是,0,（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于,1,、小于,2,，那么只能是小数了，所以存在分维。经过计算“寇赫岛”曲线的维数是,1.2618,。,法国数学家曼德尔勃罗特这位计算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动作用。他在,1975,、,1977,和,1982,年先后用法文和英文出版了三本书，特别是,分形,形、机遇和维数,Fractals,：,Form,，,Chance and Dimension,以及,自然界中的分形几何学,“,The Fractal Geometry of Nature,，开创了新的数学分支,分形几何学。,9,又如要测量“寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而,分形几何与传统几何相比有什么特点：,从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。,例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。,在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。,上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。,10,分形几何与传统几何相比有什么特点：10,分形几何图形,自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分叉、海岸线等。在数学中，历史上也构造了许多分形模型，如,Koch,曲线、,weierstrass,函数等。它们共同的特点是,处处连续但处处不可微，即曲线处处是不光滑的，总有无穷的细节在里面；,具有自相似性或统计自相似性，即在不同的标度下，它们的形状是相似的，不可区分的；,刻划它们的维数不是整数，而是分数。,这是因为，这类曲线都有无穷的细节，所以用,1,维的直线来测量它，其值为无穷大，然而它们又没有填满一个有限的平面，所以其维数又不能等于,2,，因此，要想得到一个有限的长度，它的测量维数必定在,1,和,2,之间。,11,分形几何图形 自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分,4,级,Koch,曲线,3,级,Koch,曲线,Koch,雪花,Koch,曲线的维数是,1.2618,12,4级Koch曲线 3级Koch曲线,二、谁创立了分形几何学？,1973,年，曼德尔勃罗特（,B.B.Mandelbrot,）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（,Fractal,）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。,Mandelbrot,研究中最精彩的部分是,1980,年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图,1,）。,分形的创立也是基于一个巧合，颇似当年哥伦布发现美洲新大陆的意外收获。分形的创立者曼得勃罗特原先是为了解决电话电路的噪声等实际问题，结果却发现了几何学的一个新领域。海岸线具有自相似性，曼得勃罗特就是在研究海岸线时创立了分形几何学。几何对象的一个局部放大后与其整体相似。部分的某种形式与整体相似的形状就叫做分形。,13,二、谁创立了分形几何学？1973年，曼德尔勃罗特（,Mandelbrot,集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，可以无限地放大它的边界。图,2,、图,3,就是将图,1,中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如“蜿蜒曲折的一段海岸线”，无论怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是很少见的。所以说，,Mandelbrot,集合是向传统几何学的挑战。,图,1,图,2,图,3,14,Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的,Fractal,（分形）一词的由来,据曼德勃罗教授自己说，,fractal,一词是,1975,年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词,fractus,，对应的拉丁文动词是,frangere,（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的,fraction,（“碎片”、“分数”）及,fragment,（“碎片”）具有相同的词根。在,70,年代中期以前，曼德勃罗一直使用英文,fractional,一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之尾的,fractal,，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。直观而粗略地说，这些对象都是分形。,15,Fractal（分形）一词的由来据曼德勃罗教授自己说，fra,第一组 随意的线条,16,第一组 随意的线条16,第二组 别样的对称,17,第二组 别样的对称17,分形几何的创立，以美籍法国数学家曼德尔布罗特（,B.B.Mandelbrot,）,1975,年发表的,分形：形、机遇和维数,为标志，但形成分形几何思想的根源却可上溯一个世纪,.19,世纪后半叶起，数学家们在研究函数的连续性时构造出一类不符合人们传统观念的集合，德国数学家维尔斯特拉斯（,K.Weierstrass,）,1872,年构造的以他的名字命名的函数是这类集合的第一例,.,它的图象处处连续但处处无切线（如图）,引起当时数学界的震惊,.,孰不料在此后的半个世纪里，数学家们接二连三地构造出一批这样的集合，它们的形状与性质和传统的几何对象大相径庭,.,被人们称为“反直觉的”，“病态”的“数学怪物”,.,令人惊奇的是，这些如今被称为分形的复杂图形却往往由非常简单的规则，经反复迭代生成,.,三、分形几何的产生,18,分形几何的创立，以美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B,康托尔三分集,1883,年，德国数学家康托尔,(G.Cantor),构造了一个奇异集合：取一条长度为,1,的直线段,E,0,，将它三等分，去掉中间一段，剩下两段记为,E1,，将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段记为,E2,，,，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，得到一个离散的点集,F,（图），称为康托尔三分集,.,在康托尔三分集的构造过程中，如果每一步都用掷骰子的方法来决定去掉被分成的三段中的哪一段，或来选择子区间的长度，就会得到很不规则的随机康托尔集（如图），它被当时在美国,IBM,公司任职的曼德尔布罗特用作描述通讯线路中噪声分布的数学模型，如今在现代非线性动力学的理论研究中有重要地位,.,随机康托尔集都是随机分形，著名的随机分形还有布朗（,R.Brown,）粒子运动的轨迹,19,康托尔三分集随机康托尔集都是随机分形，著名的随机分形还有,（,2,）,Sierpinski,地毯：,三分康托尔集等数学怪物的出现，使相当一部分传统数学家感到“直觉的危机”的同时，也引起了一些数学家的兴趣,.19151916,年，波兰数学家谢尔宾斯基,(W.Sierpinski),将三分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基“垫片”：设,E,0,是边长为,1,的等边三角形区域，将它均分成四个小等边三角形，去掉中间一个得,E1,，对,E1,的每个小等边三角形进行相同的操作得,E2,，,，这样的操作不断继续下去直到无穷，所得图形,F,称为谢尔宾斯基“垫片”（图）,.,它被用作超导现象和非晶态物质的模型,将类似的操作施以正方形区域（与前面不同的是这里将正方形九等分）所得图形,F,称为谢尔宾斯基“地毯”,.,20,（2）Sierpinski地毯：将类似的操作施以正方形,（,3,）,Menger,海绵：,数学家门杰（,K.Menger,）,从表面上看，海绵立方块是,:,一个立方体，是三维的，但它是以某一构造为基础而规则形成的许多孔洞的高度无序结构。在一定压力下它能压实在一个平面上，这时就是,2,维的。这说明表观看上去充实的立方体实际上是部分充实的,3,维结构，其真实维数大于,2.0,而小于,3.0,。所以可以说经典几何的整数维数只能反映物体的表观现象，而分形维数能刻画物体的内在特性。,（,1999,年以前除,加,凯依著,分形漫步,外的大部分分形论著中，均称之为谢尔宾斯基海绵，曼德尔布罗特在,大自然的几何学,199