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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,布莱克,-,舒尔斯期权定价模型,一、证券价格的变化过程,（一）弱式效率市场假说与马尔可夫过程,1965,年，法玛,（,Fama,）,提出了著名的效率市场假说。该假说认为，投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。,效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。,弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程,（,Markov Stochastic Process,）,来表述。,随机过程是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程。可分为离散型的和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类型的随机过程。,如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格。,（二）布朗运动,1.,标准布朗运动,设 代表一个小的时间间隔长度，代表变量,z,在时间,内的变化，遵循标准布朗运动的 具有两种特征：,特征,1,：和 的关系满足（,6.1,）：,（,6.1,）,其中，代表从标准正态分布（,即均值为,0,、标准差为,1.0,的正态分布,）中取的一个随机值。,特征,2,：,对于任何两个不同时间间隔，和 的值相互独立。,考察变量,z,在一段较长时间,T,中的变化情形，我们可得：,（,6.2,）,(6.2),式均值为,0,，方差为 （是相互独立的）,当 时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：,（,6.3,）,2.,普通布朗运动,我们先引入两个概念：漂移率和方差率。,标准布朗运动的漂移率为,0,，方差率为,1.0,。,我们令漂移率的期望值为,a,方差率的期望值为,b,2,，,就可得到变量,x,的,普通布朗运动,：,（,6.4,）,其中，,a,和,b,均为常数，,dz,遵循标准布朗运动。,(,三,),伊藤过程,普通布朗运动,假定漂移率和方差率为常数，若把变量,x,的漂移率和方差率当作变量,x,和时间,t,的函数，我们可以从公式,(6.4),得到,伊藤过程,（,Ito Process,）：,(6.5,）,其中，,dz,是一个标准布朗运动，,a,、,b,是变量,x,和,t,的函数，变量,x,的漂移率为,a,，,方差率为,b,2,。,(,四,),证券价格的变化过程,证券价格的变化过程可以用漂移率为,S,、,方差率为 的伊藤过程来表示：,两边同除以,S,得：,（,6.6,）,从（,6.6,）可知，在短时间后，证券价格比率的变化值为：,可见，也具有正态分布特征,(6.7),例6.1,设一种不付红利股票遵循几何布朗运动，其波动率为每年,18%,，预期收益率以连续复利计为每年,20%,，其目前的市价为,100,元，求一周,(0.0192,年,),后该股票价格变化值的概率分布。,S,服从均值为,0.384,元，标准差为,2.49,元的正态分布的随机抽样。,(,五,),伊藤引理,若变量,S,遵循,伊藤,过程，则变量,s,和,t,的函数,f,将遵循如下过,程：,根据伊藤引理，衍生证券的价格,f,应遵循如下过程：,由于,（,6.8,）,（,6.9,）,(6.10),伊藤引理证明,：,两个变量的函数的泰勒展开式为：,由前述：,由此可以推出：,因为 服从标准正态分布，有 ，由此可以推出 。如果我们求 的方差，有,所以，当 时，是高阶小量。这意味着，当 时，。,即 将变成不再是随机变量。而 ，则有 ，那么 。所以有,将这个结果代入上面泰勒展开式，略去二阶以上（包括二阶）的高阶小量，就得到,再把 代入，就有,这即为伊藤引理的结果。,返回,(,六,),证券价格自然对数变化过程,令 ，由于,代入式（,6.10,）,:,（,6.11,）,证券价格对数,G,遵循普通布朗运动,且：,例,6.2,设,A,股票价格的当前值为,50,元,预期收益率为每年,18%,波动率为每年,20%,该股票价格遵循几何布朗运动,且该股票在,6,个月内不付红利，请问该股票,6,个月后的价格,S,T,的概率分布。,例,6.3,请问在例,6.2,中，,A,股票在,6,个月后股票价格的期望值和标准差等多少？,二、布莱克,舒尔斯微分方程,（一）布莱克,舒尔斯微分方程的推导,我们假设证券价格,S,遵循几何布朗运动,：,则：,（,6.12,）,假设,f,是依赖于,S,的衍生证券的价格，则：,（,6.13,）,为了消除 ，我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和,单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值，,则：,(6.15),（,6.14,）,在 时间后：,（,6.16,）,将式（,6.12,）和（,6.14,）代入式（,6.16,），可得：,（,6.17,）,在没有套利机会的条件下：,把式（,6.15,）和（,6.17,）代入上式得：,布莱克,舒尔斯微分分程,化简为：,(6.18),这就是著名的布莱克,舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格,S,的所有衍生证券的定价。,（二）风险中性定价原理,假设所有投资者都是风险中性的，那么所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。,尽管风险中性假定仅仅是为了求解布莱克,舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。,例子,假设一种不支付红利股票目前的市价为,10,元，我们知道在,3,个月后，该股票价格要么是,11,元，要么是,9,元。现在我们要找出一份,3,个月期协议价格为,10.5,元的该股票欧式看涨期权的价值。,该看涨期权的价值应为,0.31,元,在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为,P,，,下跌的概率为,1-P,。,P=0.6266,这样，根据风险中性定价原理，我们就可以得出该期权的价值：,这就是说，该看涨期权的价值应为,0.31,元，否则就会存在无风险套利机会。,从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到,11,元的概率和下降到,9,元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。,事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在,风险中性世界,中，无风险利率为,10,，则股票上升的概率,P,可以通过下式来求：,又如，,现实世界,中股票的,预期收益率,为,15,，则股票的上升概率可 以通过下式来求：,P=69.11,可见：,投资者厌恶风险程度 股票预期收益率 股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于,0.31,元。,（三）布莱克,舒尔斯期权定价公式,在风险中性的条件下，欧式看涨期权到期时（,T,时刻）的期望值为：,其现值为,（,6.19,）,对数股票价格的分布为：,（,6.20,）,对式（,6.19,）求解：,（,6.21,）,其中，,我们可以从三个角度来理解这个公式的金融含义：,N(d,2,),是在风险中性世界中,S,T,大于,E,的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率，,e,-r(T-t),EN(d,2,),是,E,的风险中性期望值的现值。,SN(d,1,)=e,-r(T-t),S,T,N(d,1,),是,S,T,的风险中性期望值的现值。,其次，是复制交易策略中股票的数量，,SN,（,d,1,),就是股票的市值,-e,-r(T-t),EN(d,2,),则是复制交易策略中负债的价值。,最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成,资产或无,价值看涨期权,（,Asset-or-nothing call option,）,多头和,现金或无价值,看涨期权,（,cash-or-nothing option,）,空头，,SN(d,1,),是资产或无价值看涨期权的价值，,-e,-r(T-t),EN(d,2,),是,E,份现金或无价值看涨期权空头的价值。,在标的资产无收益情况下，由于,C,（欧式）,=c,（美式），因此式,（,6.21,）,也给出了无收益资产美式看涨期权的价值。,根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式 ：,（,6.22,）,由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，所以要用蒙特卡罗模拟、二叉树和有限差分三种数值方法以及解析近似方法求出。,（四）有收益资产的期权定价公式,1.,有收益资产欧式期权的定价公式,当标的证券已知收益的现值为,I,时，我们只要用,（,S,I,）,代替式（,6.21,）和（,6.22,）中的,S,即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。,当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率,q,（,单位为年）时，我们只要将 代替式（,6.21,）和（,6.22,）中的,S,就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。,对于欧式期货期权，其定价公式为：,（,6.23,）,（,6.24,）,其中：,例6.4,假设当前英镑的即期汇率为,$1.5000,，美国的无风险连续复利年利率为,7%,，英国的无风险连续复利年利率为,10%,，英镑汇率遵循几何布朗运动，其波动率为,10%,，求,6,个月期协议价格为,$1.5000,的英镑欧式看涨期权价格。,3.05,美分,。,2.,有收益资产美式期权的定价,(1),美式看涨期权,当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，我们可用一种近似处理的方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理；若在,t,提前执行有可能是合理的，则要分别计算在,T,时刻和,t,时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。,例6.5,假设一种,1,年期的美式股票看涨期权，标的股票在,5,个月和,11,个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为,1.0,元，标的股票当前的市价为,50,元，期权协议价格为,50,元，标的股票波动率为每年,30%,，无风险连续复利年利率为,10%,，求该期权的价值。,近似为,7.2824,元,(2),美式看跌期权,由于收益虽然使美式看跌期权提前执行的可能性减小，但仍不排除提前执行的可能性，因此有收益美式看跌期权的价值仍不同于欧式看跌期权，它也只能通过较复杂的数值方法来求出。,三、,Black,Scholes,定价公式中各种变量对期权价格的影响,在,布莱克,-,斯科尔斯定价公式中，影响期权价格的因素的包括：股票价格,S,、执行价格,E,、无风险利率,r,、股票价格波动的方差 和到期日,T,。用函数形式表示就是：,在下面的叙述中假设公式是连续可微的，因而每一种因素对,C,的影响都可以通过求偏导数的方式得出，,（,1,）股票价格对欧式看涨期权价格的影响,这种影响被称为 （小写为 ），即：,由于,N,（,d,1,）,是一个概率函数，所以 。这也就是说，当,S,增加或减少,1,个单位时，期权价格增加或减少的绝对量不超过,1,。,这个概念很重要，在理论和实践中常常被用于构造证券组合。在一个无风险且无套利的证券组合中，常常被称作是“套期保值率”。,我们转而讨论一下关于 问题,例如构造如下一个证券组合，该组合包括一个价格为,C,的欧式看涨期权多头和,h,股价格为,S,的股票空头。因此，该组合的现期价值为,则,dV,=,dC,-,hdS,依前分析有：,其中,z,是随机变量；由依藤引理可知：,把,dS,和,dC,的值代入,dV,，整理后得：,为使证券组合,V,能取得一个无风险收益，即,dV,=0,从而可以得到最佳的套期保值率：,显而易见，影响 的一个最大变量是股票价格。我们把股票价格,S,对,的影响称为,，即,由上式可知：如果,的值越大，说明对股票价格的变化越敏感，,中性的位置也就越难以维持；反之亦然。,（,2,）执行价格的影响,通过求解，执行价格对欧式看涨期权的影响为：,由于,N,（,d,2,）,0,，所
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