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单击此处编辑母版文本样式,哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换,第一节 复数项级数,复数列,：一列有次序的复,a,n,=,a,n,+,ib,n,n,=1,2,复数列的极限：,设,a,=,a,+,ib,为一确定的复数,.,如果任意给定,e,0,相应地能找到一个正数,N,(,e,),使,|,a,n,-,a,|,N,时成立,则,a,称为复数列,a,n,当,n,时的,极限,记作,此时也称,复数列,a,n,收敛,于,a,.,定理,1.,复数列,a,n,(,n,=1,2,.),收敛于,a,的充要条件是,解题思路：首先分解,a,n,=,a,n,+,ib,n,，然后分别考,察,a,n,和,b,n,的极限，,再确定,a,n,的收敛性,4,2.,复数项级数,设,a,n,=,a,n,+,ib,n,(,n,=1,2,.),为一复数列,表达式,称为,复数项级数,其前面,n,项的,s,n,=,a,1,+,a,2,+.+,a,n,称为级数的,部分和,.,11,1.,基本概念,设,f,n,(,z,)(,n,=1,2,.),为一复变函数序列,其中各项在区域,D,内都有定义,.,表达式,称为,复变函数项级数,.,前面,n,项的和,s,n,(,z,)=,f,1,(,z,)+,f,2,(,z,)+.+,f,n,(,z,),称为该级数的,部分和,.,第二节 幂级数,在，则称复变函数项级数,(4.2.1),在,z,0,收敛,（或,z,0,是其的收敛点）而,s,(,z,0,),称为它的,和,，其收敛点的全体称为它的收敛域。级数在其收敛域,D,内处处收敛,则它的和一定是,z,的一个函数,s,(,z,)=,f,1,(,z,)+,f,2,(,z,)+.+,f,n,(,z,)+.,称之为级数,(4.2.1),的,和函数,13,特殊情形,:,二、幂级数的敛散性质,1.,收敛域的结构,首先，我们有一个与微积分课程中有关幂级数,收敛的一个类似结果。,定理一,(,阿贝尔,Abel,定理,),15,16,2.,收敛圆和收敛半径,利用阿贝尔定理,可以定出幂级数的收敛范围,对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种,:1),对所有的正实数都是收敛的,.,这时,根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛,.2),对所有的正实数除,z,=0,外都是发散的,.,这时,级数在复平面内除原点外处处发散,.3),既存在使级数收敛的正实数,也存在使级数发散的正实数,.,设,z,=,a,(,正实数,),时,级数收敛,z,=,b,(,正实数,),时,级数发散,.,17,R,C,R,O,a,b,C,a,C,b,x,y,19,3.,收敛半径的求法,20,例,1,求下列幂级数的收敛半径,21,22,23,4.,幂级数的运算和性质,24,注,：加减乘除后得到的新级数的收敛半径可能与 都无关。,还有更重要的运算：,复合运算,，它在求解函数的展开式中有着广泛的应用。,25,26,第三节 泰勒,(Taylor),级数,一、泰勒定理,定理,1,(,泰勒展开定理,),设,f,(,z,),在区域,D,内,解析,z,0,为,D,内的一点,d,为,z,0,到,D,的边界上各点的最短距离,则当,|,z,-,z,0,|,d,时,称该式是,f,(,z,),在,z,0,的泰勒展开式,它右端的级数称为,f,(,z,),在,z,0,处的泰勒级数,.,证明,：设函数,f,(,z,),在区域,D,内解析,而,|,z,-,z,0,|=,r,为,D,内以,z,0,为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于,D,把它记作,K,又设,z,为,K,内任一点,.,z,0,K,z,r,z,按柯西积分公式,有,且,z,0,K,z,r,z,由解析函数高阶导数公式,上式可写成,在,K,内成立,即,f,(,z,),可在,K,内用幂级数表达,.,这里,q,与积分变量,z,无关,且,0,q,1.,z,0,K,z,r,z,K,含于,D,f,(,z,),在,D,内解析,在,K,上连续,在,K,上有界,因此在,K,上存在正实数,M,使,|,f,(,z,)|,M,.,因此,下面的公式在,K,内成立,:,31,利用逐项积分，展开式的唯一性是容易验证的,.,注,：,1.,如果,f,(,z,),在,z,0,解析,则使,f,(,z,),在,z,0,的泰勒展开式成立的圆域的半径,R,等于从,z,0,到,f,(,z,),的距,z,0,最近一个奇点,a,的距离,即,R,=|,a,-,z,0,|.,2.,函,果,f,(,z,),在,z,0,处解析的充要条件是,f,(,z,),在,z,0,的某个邻域内,有泰勒展开式,。,32,二、一些初等函数的泰勒展开式,基本方法：,1.,直接展开法：,2.,间接展开法：,借助一些已知函数的展开式,利用变量替换、逐项微（积）分、幂级数的运算、待定系数法等方法,得出函数在指定点附件的泰勒展开式,例,1,.,求,e,z,在,z,=0,处的泰勒展开式,由于,(e,z,),(,n,),|,z,=0,=1(,n,=0,1,2,.),，故有,因为,e,z,在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为,+,.,同样,可求得,sin,z,与,cos,z,在,z,=0,的泰勒展开式,:,34,35,36,例,4,求对数函数的主值分支,ln(1+,z,),在,z,=0,处的泰勒展开式,.,解,：,ln(1+,z,),在从,-1,向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1,是它的奇点,所以可在,|z|1,内展开,.,37,38,39,4,洛朗级数,一,、洛朗级数,定义,1,形如,z,0,R,1,R,2,例如级数,定理,1,(,洛朗展开式定理,),设,f,(,z,),在圆环域,R,1,|,z,-,z,0,|,R,2,内解析,则,C,为在圆环域内绕,z,0,的任何一条正向简单闭曲线,.,二、环形区域上解析函数的洛朗展开,在收敛圆环域内也具有,.,例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导,.,现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成级数形式,?.,幂级数在收敛圆内的许多性质,级数,解：,函数,f,(,z,),在圆环域,i)0|,z,|1;ii)1|,z,|2;iii)2|,z,|+,内是处处解析的,应把,f,(,z,),在,这些区域内展开成洛朗级数,.,x,y,O,1,x,y,O,1,2,x,y,O,2,先把,f,(,z,),用部分分式表示,:,ii),在,1|z|2,内,：,
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