平面与平面的夹角课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二面角,他山中学 任城勇,1,二面角他山中学 任城勇1,一个,平面,内的一条,直线,把这个,平面,分成两个部分,，,其中的每一部分都叫做,半平面,。,一条,直线,上的一个,点,把这条,直线,分成两个部分,，,其中的每一部分都叫做,射线,。,2,2,一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，,O,B,A,A,B,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做,二面角,。,这条直线叫做,二面角的棱,。,这两个半平面叫做,二面角的面,。,3,定义,:,3,OBAAB 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,A,B,二面角,AB,l,二面角,l,二面角,C,AB,D,A,B,C,D,5,O,B,A,AOB,表示方法：,4,AB二面角AB l二面角 l 二面,l,O,O,1,A,B,A,1,B,1,A O B,A,1,O,1,B,1,？,以二面角的,棱,上任意一点为端点，在,两个面内,分别作,垂直,于棱的两条射线，这两条射线所成的,角,叫做,二面角的平面角。,平面角是,直角,的二面角叫做,直二面角,9,二面角的大小用它的平面角来度量,度量：,5,lOO1ABA1B1A O BA1O1B1？,二面角的平面角必须满足,：,3,）,角的边都要垂直于二面角的棱,1,）,角的顶点在棱上,2,）,角的两边分别在两个面内,以二面角的,棱上任意一点,为端点，,在两个面内,分别作,垂直于棱,的两条射线，这两条射线所成的,角,叫做,二面角的平面角。,10,l,O,A,B,6,二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角,二面角的计算：,1,、,找到或作出二面角的平面角,2,、,证明,1,中的角就是所求的角,3,、,计算出此角的大小,一“,作,”二“,证,”三“,计算,”,16,7,二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明 1中的角,.,如图，正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，二面角,C,1,-BD-C,的正切值是,_.,练习,8,.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角C1-B,.,在二面角,-l-,的一个平面,内有一条直线,AB,，它与棱,l,所成的角为,45,，与平面,所成的角为,30,，则这个二面角的大小是,_.,练习,9,.在二面角-l-的一个平面内有一条直线AB，它,3,、,在二面角,-a-,内，过a作一个半平面,，使二面角,-a-=,45，二面角,-a-=,30，则,内的任意一点,P,到平面,与平面,的距离之比为,练习,10,3、在二面角-a-内，过a作一个半平面，使二面角-a,二面角的求法,二面角的求法,(2),垂线法,(1),垂面法,(3),射影法,11,二面角的求法二面角的求法(2)垂线法(1)垂面法(3)射影法,垂面法,(,定义法,),定义法,:,根据定义,找到二面角的棱垂面即可得平面角,解三角形求其大小,.,12,垂面法(定义法)定义法:根据定义,找到二面角的棱垂面即可得平,例题选讲,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,在正方体,AC,1,中，求二面角,D,1,ACD,的大小？,O,13,例题选讲ABDCA1B1D1C1在正方体AC1中，求二面角D,ABC,中,ABBC,SA,平面,ABC,DE,垂直平分,SC,又,SA=AB,SB=BC,求二面角,E-BD-C,的大小,?,S,A,B,C,E,D,例题选讲,14,ABC中,ABBC,SA 平面ABC,DE垂直平分SC,垂线法,(,三垂线定理或逆定理,),垂连求角,15,垂线法(三垂线定理或逆定理)垂连求角15,三垂线法,:,首先找其中一个半平面的垂线,找不到垂线找垂面,(,指其中一个半平面的垂面,),找到垂面作垂线,构造三垂线定理或逆定理条件得平面角,.,16,16,三棱锥,P-ABC,中，,PA,平面,ABC,，,PA=3,，,AC=4,，,PB=PC=BC,P,A,B,C,（,1,）求二面角,A-PC-B,的大小,D,E,BD=,DE=,COS,=,例题选讲,17,三棱锥P-ABC中，PA 平面ABC，PA=3，AC=4，,四棱锥,P-ABCD,的底面是边长为,4,的正方形，,PD,面,ABCD,，,PD=6,，,M,N,是,PB,AB,的中点，求二面角,M-DN-C,的平面角的正切值？,P,D,A,B,C,N,M,O,H,例题选讲,18,四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD面ABCD,如图，三棱锥,P-ABC,中，面,PBC,面,ABC,，,PBC,是边长为,a,的正三角形，,ACB=90,，,BAC=30,，,BM=MC,求证：,PB AC,二面角,C-PA-M,的大小,P,M,B,C,A,D,例题选讲,19,如图，三棱锥P-ABC中，面PBC面ABC，PBC是边长,A,B,C,D,O,射影法,是不找平面角求二面角的一种方法,:,20,ABCDO射影法是不找平面角求二面角的一种方法:20,A,B,C,A,M,已知：如图,ABC,的顶点,A,在平面,M,上的射影为点,A,，,ABC,的面积是,S,，,ABC,的面积是,S,，,设二面角,A-BC-A,为,求证：,COS,=,S S,D,21,ABCAM已知：如图ABC的顶点A在平面M上的射影为点A,在正方体,AC,1,中，,E,F,分别是中点,求截面,A,1,ECF,和底面,ABCD,所成的锐二面角的大小,E,F,G,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,F,G,B,C,D,A,F,E,A,1,C,例题选讲,22,在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面A,在正方体,AC,1,中，,E,F,分别是中点,求截面,A,1,ECF,和底面,ABCD,所成的锐二面角的大小,E,F,G,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,H,F,G,B,C,D,A,H,23,在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面A,例题选讲,过正方形,ABCD,的顶点,A,引,SA,底面,ABCD,，并使平面,SBC,，,SCD,都与底面,ABCD,成,45,度角，,(1),求二面角,BSCD,的大小？,(2),求,面,SCD,与面,SAB,所成的二面角,A,B,C,D,S,O,E,24,例题选讲过正方形ABCD的顶点A引SA底面ABCD，并使平,一题多解：,射影面积法,法向量法,25,一题多解：射影面积法法向量法25,l,l,三、面面角：,二面角的范围,：,法向量法,注意,法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；,同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,26,ll三、面面角：二面角的范围：法向量法注意法向量的方向：一,设平面,27,设平面27,l,将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。,如图，设二面角 的大小为 ，其中,D,C,B,A,三、面面角：,方向向量法：,二面角的范围,：,28,l将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂,例、已知在一个二面角的棱上有两个点,A,，,B,，,线段,AC,，,BD,分别在这个二面角的两个面内，并且,都垂直于棱,AB,，,AB,=4,cm,，,AC,=6,cm,，,BD,=8,cm,，,CD,=,cm,，求二面角的度数,C,D,A,B,E,29,例、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B，cm，求二面角的度,例,.,正三棱柱 中，,D,是,AC,的中点，当 时，求二面角 的余弦值。,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,30,例.正三棱柱 中,解法一,(,方向向量）：如图，以,C,为原点建立空间直角坐标系,C-xyz,。设底面三角形的边长为,a,，侧棱长为,b,则,故,则可设,=1,，则,B(0,1,0),y,x,z,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,F,E,作 于,E,于,F,，,则,即为二面角 的大小,在 中，,31,解法一(方向向量）：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-x,由于 且 ，所以,在 中，同理可求,cos =,即二面角 的余弦值为,y,x,z,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,F,E,32,由于 且,解法二,（法向量）同法一，以,C,为原点建立空间直角坐标系,C-xyz,在坐标平面,yoz,中,设面 的一个法向量为,同法一，可求,B(0,1,0),可取 ,(1,0,0),为面 的法向量,y,x,z,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,由 得,解得,所以，可取,二面角 的大小等于,cos =,即二面角 的余弦值为,33,解法二（法向量）同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-x,证明：以 为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得,例,.,已知正方体 的边长为,2,，,O,为,AC,和,BD,的交点，,M,为 的中点,（,1,）求证：直线 面,MAC;,（,2,）求二面角 的余弦值,.,B,1,A,1,C,1,D,1,D,C,B,A,O,M,x,y,z,34,证明：以 为正交基,B,1,A,1,C,1,D,1,D,C,B,A,O,M,x,y,z,35,B1A1 C1D1DCBAOMxyz,设平面,36,设平面36,小结：,1.,异面直线所成角：,2.,直线与平面所成角：,37,小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：37,l,D,C,B,A,3.,二面角：,l,l,一进一出，二面角等于法向量的夹角；,同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。,38,lDCBA3.二面角：ll一进一出，二面角等于法向量的夹角；,