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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,定义1.12,若函数在自变量,的某个变化过程中以零为极限，则称在该变化过程中,为,无穷小量,简称,无穷小,2.4.1,无穷小,例如，当 时，是无穷小量；当时，是无穷小量,当时，是无穷小量,我们经常用希腊字母，来表示无穷小量,定义1.12若函数在自变量2.4.1 无穷小,2,注意：,（,1,）无穷小是以零为极限的变量，,常数中只有零是无穷小,（,2,）无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的，,例如,:,当 时,为无穷小,当 时,就不是无穷小,2注意：（1）无穷小是以零为极限的变量，（2）无穷小总是和,定理1.2,函数 以 为极限的充分必要条件是：可以表示为与一个无穷小量之和即,其中,定理1.2函数 以 为极限的充分必要条件是：,定义1.1,0,如果,(,或,),时，相应的函数值的绝对值无限增大，则称当,(,或,),时为无穷大量,无穷大量,，简称,无穷大,.,2.4.2,无穷大,定义1.10如果 (或)时，相应的函数值,5,如果函数当时为无穷大，按通常意义来说，极限是不存在的，但为了便于叙述，我们也说“函数的极限是无穷大”并记为,5如果函数当时为无穷大，按通常意义来说,6,而且，把限正值的无穷大叫做正无穷大，把限负值的无穷大叫做负无穷大，分别记为,例如，,（,1,）,无穷大是个变量，不是常数,（,2,）,无穷大总和自变量的变化趋势相关联,注意：,6而且，把限正值的无穷大叫做正无穷大，把限负值的无穷大叫做负,时，,时，是无穷小,例,1,指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷小和无穷大？,解,时，,时，是无穷小,时，,时，是无穷大,解,时，,时，是无穷大,时，,时，是无穷,8,解,时，所以 时，是无穷小,时，,所以 时，是正无穷大,8解 时，所以 时，,9,练习一,1,.,下列函数中哪些是无穷小？哪些是是无穷大？,是无穷大,是无穷小,是无穷大,是无穷小,9练习一1.下列函数中哪些是无穷小？哪些是是无穷大？是无穷大,10,是无穷大,是无穷小,是无穷小,是无穷大,10是无穷大是无穷小是无穷小是无穷大,11,2.,指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无穷小,时，是无穷小,时，是无穷大,时，是无穷小,时，是无穷大,112.指出下列函数分别在自变量怎样的变化过程中是无穷大和无,12,时，是无穷小,时，是正无穷大,12 时，是无穷小 时，,13,13,性质1,.,4,无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量,无穷小量的性质,性质1,.,1,有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量,性质1,.,2,有界变量乘无穷小量仍是无穷小量,性质1,.,3,常数乘无穷小量仍是无穷小量,性质1.4无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量无穷小量的性,解,因为，所以是有界变量；,例,2,求,当时，是无穷小量,根据性质1.2，乘积是无穷小量即,解因为，所以是有界变量；例2求,练习二,求下列函数的极限,练习二求下列函数的极限,，,，,我们记，它们都是,时的无穷小量但,2.4.3,无穷小的比较,，我们记，它们都是时的无,，趋于零的情况,1 10 100 1 000 10 000,1 0.1 0.01 0.001 0.000 1,2 0.2 0.02 0.002 0.000 2,1 0.01 0.00 01 0.000 001 0.000 000 01,，趋于零的情况1 10 100 1 0,定义1.14,设、是同一变化过程中的两个无穷小量，,(2)若(是不等于零的常数)，则称与是,同阶无穷小量,若，则称,与是,等价无穷小量,(1)若,则称是比,高阶的无穷小量,也称是比,低阶的无穷小量,定义1.14设、是同一变化过程中的两个无穷小量，,20,关于等价无穷小，有下面重要的性质,定理,44,设,，,，且 存在，,则,证明：,20关于等价无穷小，有下面重要的性质,21,在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因子可用其等价无穷小替换，使计算简化，这种方法称为等价无穷小替换法,常用的无穷小替换有：,21在求极限时，利用定理，分子分母的无穷小因子可用其等价无穷,22,例,432,求极限,例,433,求极限,22例432 求极限 例433 求极限,
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