初中数学竞赛知识讲座

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,主讲:田畈街镇高级数学教师曹盛华,初中数学竞赛知识讲座,主讲人,:,曹盛华,竞赛内容:分为代数与几何两方面,：,代数方面,：,1、数,2、代数式的恒等变形与求值,3、方程及其相关问题,4、函数与不等式,几何方面,：,1、平面几何解题方法,2、几何图形的计数问题,3、反证法,竞赛的思想方法,抽屉原理,包含排除原理,分类方法与计数问题,排序解法,整体解算法,标算法,抽屉原理,：,把,m,个东西任意放在,n,个抽屉中，其中至少有一个抽屉里至少有,k,个东西。,m m,是,n,倍数,m m,不是,n,的倍数,k=,例一,：在正方形中有任意5个点，其中必有2个点的距离不大于正方形对角线的一半。,不存在现成的抽屉，需要我们自己制作,：,例二,：1010人参加考试，每人得分都是整数分，所得的总分为50501分（百分制），试证明至少有11人得分相同,。,证：因为百分制的得分有：0、1、2、399、100。按得分情况可设置101只抽屉，而,50501=（0+1+2+99+100）10+1,根据抽屉原理可知，至少有11人的得分相同。,包含排除原理,：,例：,九（1）班学生参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，两个队都参加的有13人，全班学生每人至少参加一个队，问全班共有多少人？,例,：扬帆中学共有教师120人，其中教数学、外语、语文的分别有50、45、40名，其中有15名能教数学、外语，有10名能教数学、语文，有8名能教外语、语文，还有4名数学、外语、语文都能教，问该校这三门课程都不能教的老师有多少名？,分类方法与计数问题,：,所谓分类方法就是将数学问题中的计算或证明分成若干部分，逐一加以计算或证明，从而达到我们所要的目的。,整体解算法,：,在解,数学问题时，把它看作是一个整体，观察、分析问题的整体形式和结构特征以及整体与部分间的关系，从而作出某些整体处理达到简捷明快地解决问题的目的。,标,算法,：,一、利用已知的图、表、式作为辅助工具，构作一种新的数学形式，对它们分别标上特殊的数字，可使命题证法突破常规。,二、它对于参加数学竞赛的同学来说，值得借鉴。,函数与不等式：,函数与不等式是初中代数的重要各识，也是数学竞赛规定的考试内容之一，尤其是二次函数，牵涉的数学知识面相当宽，涉及到数、式、方程和不等式等许多概念与运算。,例：,已知函数,y=x,2,-x-12,的图像与,x,轴交于相异两点,A、B，,另一抛物线,y=ax,2,+,bx,+c,过点,A、B，,顶点为,P，,且,APB,是等腰直角三角形。求,a、b、c。,解：令,y=x,2,-x-12=0.,当,x0,时，解得,x=4；,当,x0,时，解得,x=-4。,于是得,A，B,两点坐标为,A（4,0），B（-4,0）.,依题设，抛物线,y=ax,2,+,bx,+c,过点,A，B,设,y=a(x+4)(x-4)APB,为等腰三角形，,P,点的坐标为（0，4）或（0，-4）,将（0，4）代入得,a=-1/4,将（0，-4）代入得,a=1/4,因此，,a、b、c,的值分别为1/4,0,-4或-1/4,0,4,例：,在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数,y=0.1x,2,-0.1x+,的图像上找出满足,yx,的所有整点（,x,y），,并说明理由,。,解：,yx,即,x,2,-x+18,，,于是有：,x,2,-x+1810 x,分两种情况:,x0,时,x0,时,当时,x,2,-x+1810 x，,故有2,x9,，（2，2）（4，3）,（7，6）（9，9）,当时,x,2,-x+18-10 x，,于是-6,x-3,(-6,6)(-3,3),因此满足条件的点共有上述6个整点。,10,x,例：,设二次函数,y=-x,2,+(m-2)x+3(m+1),的图像与,x,轴交于,A、B,两点（,A,在,B,的左边），与,y,轴交于,C,点。线段,AO,与,BO,的长的积等于6（,O,是坐标原点），连结,AC、BC。,求,sinC,的值,。,解：,设抛物线与,x,轴的两交点坐标,为,A（x,1,0），,B（x,2,，0）,得,x,1,x,2,=6。,若,x,1,x,2,=6,则有,x,1,x,2,=-3(m+1)=6，,所以=-3，易得：,A（-3,0）B（-2,0）C(0,-6),如图：,S,ABC,=AB*OC/2=3,AC=AO,2,+OC,2,=35，,BC=BO,2,+OC,2,=210,35*210*,sinC,=6。,sinC,=2/10,同理：若,x,1,x,2,=-6,可得,sinC,=2/2,例,：对于每一个正整数,n，,抛物线,y=(n,2,+n)x,2,-(2n+1)x+1,与,x,轴交于,A、B,两点，以,A,n,B,n,表示该两点的距离，求,A,1,B,1,+A,2,B,2,+A,2010,B,2010,的值。,解：,A,n,B,n,=x,1,-x,2,=(x,1,+x,2,),2,-4x,1,x,2,=1/(n,2,-n),答案：,2010,2011,课后,练习：,一、已知二次函数,y=ax,2,+,bx,+c,的,图像如下，则下列六个代数式,ab,ac,a+b+c,a-b+c,2a+b,2a-b,中，其值为正的式子共有几个？,二、已知二次函数,y=ax,2,+,bx,+c,的,图像与,y,轴交于,Q（0，1），,与,x,轴交于,M、N，,且点,M,和点,N,的,横坐标的平方和为6，图像的顶,点,P,在,x,轴上方，且,S,MQN,：S,MPN,=1：2，,求这个二次函数的系数,a、,b、c。,三,、已知抛物线,y=x,2,+,kx,+4-k,与,x,轴交于整点,A、B，,与,y,轴交于,C,点，则,S,ABC,的值,。,四、已知,y=0.1x,2,-0.1x+1.8，,且,yx.,求,x,的取值范围。,五、当,x4,时，函数,y=x-1+x-2+x-3,的最大值与最小值之差是多少,